【欧拉筛】BZOJ - 2818 - Gcd

最新推荐文章于 2020-09-11 18:43:43 发布

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本文介绍了一种求解在给定整数N范围内，所有两数最大公约数为素数的数对(x,y)数量的高效算法。通过欧拉筛预处理方式，将问题转化为求解gcd(x,y)==1的问题，再利用phi函数统计每段区间内符合条件的数对数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接<https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2818>

题意：

给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对。

题解：

对于gcd（x，y）== 1。则gcd（x*p，y*p）== p。

所以要求 gcd（x，y）== p，x<=n,，y<=n

相当于求 gcd（x，y）== 1，x<=n/p，y<=n/p

而对于后者，可以用欧拉筛求出。phi[x]*2 就代表1~x范围内gcd为1的对数。乘2的原因是（x，y）和（y，x）不同。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N=1e7+7;
ll phi[N],pri[N],sum[N];
bool vis[N];
ll tot;
void init(){
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    phi[1]=1;
    for(ll i=2;i<N;i++){
        if(!vis[i]){
            pri[++tot]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<N;j++){
            vis[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j]){
                phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
            }
            else{
                phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
                break;
            }
        }
    }
    sum[1]=1;
    for(ll i=2;i<N;i++)
        sum[i]=sum[i-1]+phi[i]*2;
}
int main(){
    ll n;
    init();
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF){
        ll ans=0;
        for(ll i=1;i<=tot&&pri[i]<=n;i++)
            ans+=sum[n/pri[i]];
        printf("%lld\n",ans);
    }
}