C语言实现高斯消去法和列主元高斯消去法

        本篇主要实现高斯消去法和列主元高斯消去法

        高斯消去法和列主元高斯消去法都是为了解线性方程组的有效方法，但列主元高斯消去法是高斯消去法的一个优化版本，强烈建议后面许多地方用到解方程组时，都用列主元高斯消去法。

      高斯消去法：

 

我个人觉得，例子比数学公式更好让人理解本质。上述是线性代数的高斯消元法，而我们只需要用程序将这个代码实现出来。上述方程组，第二行减去第一行，第三行减去两倍第一行。那么可以推断，若第三行要消去第一个数，则让第一行每个数除上第一行第一个数并乘上第三行第一个数，再让第三行减去第一行，即可。

代码实现：

#include<stdio.h>
# define N 100
int main()
{
	int k,n,i,j;
	double a[N][N],b[N],m[N][N],x[N],c[N],s=0.0;
	printf("请输入未知数的个数："); //该方程组的未知数
	scanf("%d",&n);
	printf("请输入数据："); //输入增广矩阵
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		
		for(j=0;j<n+1;j++)
		{
			scanf("%lf",&a[i][j]);
		}
	}
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		b[i]=a[i][n];//将增广矩阵最后一列作为y的值
	}
	for(k=0;k<n-1;k++)
    {
	for(i=k+1;i<n;i++)
    {   m[i][k]=1.0*a[i][k]/a[k][k];//这一步减少了计算机运算量，因为后面要用到
		b[i]=b[i]-1.0*m[i][k]*b[k];//将y与每一行的变化保持一致
    	for(j=k;j<n;j++)
    	{
    		a[i][j]=a[i][j]-1.0*m[i][k]*a[k][j];//这一步实现消元，可自己用具体数值推导
		}
	}}
    //可以在这里加两个循环，查看矩阵中每一个位置的数是多少。就是上面输入增广矩阵下面那个双循环
	//方程回代过程 
	x[n-1]=1.0*b[n-1]/a[n-1][n-1];//先计算最后未知数，从下上算
    for(i=n-2;i>=0;i--)
    {    s=0;                   //这一步非常重要，每一步都要更新为0，不然s保留参与下面计算出错
    	for(j=i+1;j<n;j++)
    	{
    		c[j]=1.0*a[i][j]*x[j];//计算过程
    		s=c[j]+s;
		}
		x[i]=1.0*(b[i]-s)/a[i][i];//将每一行的方程除未知数其他全部放到等式右边
	}
	for(i=0;i<n;i++)
	{
	printf("x[%d]=%lf\n",i+1,x[i]); //将未知数按顺序打印出来
	}
	return 0;
}

列主元高斯消元法，只是将每一列的最大数先放到前面，因为消元的过程中，如第三行第一个要消去第一个数字，则要第一行每一个数除上第一个数再乘上第三行第一个数，而第一行第一个数太小则会引起误差，若为0，则不能做分母，因此有必要引入列主元高斯消元法。

列主元高斯消元法 ：

                             

代码实现：

#include<stdio.h>
# define N 100
int main()
{
	//我的坏毛病，参数过多，后面不一定有用上
    int k,n,i,j,r,w,e,g;
	double a[N][N+1],b[N],m[N][N],x[N],c[N],s=0,f,max,uu[N];
	printf("请输入未知数的个数：");
	scanf("%d",&n);
	printf("请输入数据：");
 	for(i=0;i<n;i++)
	    {
		    for(j=0;j<n+1;j++)
		{
			scanf("%lf",&a[i][j]);
		}
	
	}
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		b[i]=a[i][n];
	}
	/*验证代码是否正确*//可将这段代码放到任何一个位置进行正确性检验
	for(i=0;i<n;i++)
	{	
		for(j=0;j<n;j++)
		{
			printf("%lf ",a[i][j]);
		}
		printf("%lf\n",b[i]);
	}*/ 
    for(r=0;r<n-1;r++)//这一步开始寻找每一列最大的数
	{	k=r;
	max=a[r][r];
	for(w=r;w<n-1;w++)//寻找，若找到该列下面有比起始大的数，则进行标记
	{
		if(a[w+1][r]>=a[w][r])
		{
			max=a[w+1][r];
			k=w+1;          //若找到下列大的数，标记
		}
	}
	if(k>=r)//此时表示找到
	{	
	for(e=r;e<n;e++)//将下列最大的数的那一行与这列起始数的那一行所有数进行行更换
	{
		f=a[r][e];
		a[r][e]=a[k][e];
		a[k][e]=f;
	}
		f=b[r];//让y保持与行同变化
		b[r]=b[k];
		b[k]=f;	
    }   
	for(i=r+1;i<n;i++)//与上面相同，进行高斯消去法，因为列已经变化完毕
    {   m[i][r]=1.0*a[i][r]/a[r][r];
		b[i]=b[i]-1.0*m[i][r]*b[r];
    	for(j=r;j<n;j++)
    	{
    		a[i][j]=a[i][j]-1.0*m[i][r]*a[r][j];
		}
	}}
	//回代过程
	x[n-1]=1.0*b[n-1]/a[n-1][n-1];
    for(i=n-2;i>=0;i--)
    {    s=0;
    	for(j=i+1;j<n;j++)
    	{
    		c[j]=1.0*a[i][j]*x[j];
    		s=c[j]+s;
		}
		x[i]=1.0*(b[i]-s)/a[i][i];	
	}
	for(i=0;i<n;i++)
	{
	printf("x[%d]=%lf\n",i+1,x[i]); 
	}
	return 0;
}