五边形数定理(转自维基百科)

本文介绍五边形数定理及其在分割函数中的应用,通过该定理可推导出分割函数p(n)的递归式,进而解决组合数论问题。

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题目来源于杭电第五场多校联合:给出一个n,求出1-n个数,组合加起来等于n的方式有多少种,顺序不一样算同一种...

五边形数定理是一个由欧拉发现的数学定理,描述欧拉函数展开式的特性[1] [2]。欧拉函数的展开式如下:

\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{k(3k-1)/2}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^kx^{k(3k\pm 1)/2}.

亦即

(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots.

欧拉函数展开后,有些次方项被消去,只留下次方项为1, 2, 5, 7, 12, ...的项次,留下来的次方恰为广义五边形数

若将上式视为幂级数,其收敛半径为1,不过若只是当作形式幂级数formal power series)来考虑,就不会考虑其收敛半径。

欧拉函数的倒数是分割函数母函数,亦即:

\frac{1}{\phi(x)}=\sum_{k=0}^\infty p(k) x^k

其中p(k)为k的分割函数。

上式配合五边形数定理,可以得到

(1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots)(1 + p(1)x + p(2)x^2 + p(3)x^3 + \cdots)=1

考虑x^n项的系数,在 n>0 时,等式右侧的系数均为0,比较等式二侧的系数,可得

p(n) - p(n-1) - p(n-2) + p(n-5) + p(n-7) + \cdots=0

因此可得到分割函数p(n)的递归

p(n) = p(n-1) + p(n-2) - p(n-5) - p(n-7) + \cdots

以n=10为例

p(10) = p(9) + p(8) - p(5) - p(3) = 30 + 22 - 7 -  3 = 42

 

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