五边形数定理（转自维基百科）

Modiz

于 2013-08-07 10:04:55 发布

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本文介绍五边形数定理及其在分割函数中的应用，通过该定理可推导出分割函数p(n)的递归式，进而解决组合数论问题。

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题目来源于杭电第五场多校联合：给出一个n，求出1-n个数,组合加起来等于n的方式有多少种，顺序不一样算同一种...

五边形数定理是一个由欧拉发现的数学定理，描述欧拉函数展开式的特性^[1] ^[2]。欧拉函数的展开式如下：

$\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{k(3k-1)/2}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^kx^{k(3k\pm 1)/2}.$

亦即

$(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots.$

欧拉函数展开后，有些次方项被消去，只留下次方项为1, 2, 5, 7, 12, ...的项次，留下来的次方恰为广义五边形数。

若将上式视为幂级数，其收敛半径为1，不过若只是当作形式幂级数（formal power series）来考虑，就不会考虑其收敛半径。

欧拉函数的倒数是分割函数的母函数，亦即：

$\frac{1}{\phi(x)}=\sum_{k=0}^\infty p(k) x^k$

其中 $p(k)$ 为k的分割函数。

上式配合五边形数定理，可以得到

$(1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots)(1 + p(1)x + p(2)x^2 + p(3)x^3 + \cdots)=1$

考虑 $x^n$ 项的系数，在 n>0 时，等式右侧的系数均为0，比较等式二侧的系数，可得

$p(n) - p(n-1) - p(n-2) + p(n-5) + p(n-7) + \cdots=0$

因此可得到分割函数p(n)的递归式

$p(n) = p(n-1) + p(n-2) - p(n-5) - p(n-7) + \cdots$

以n=10为例

$p(10) = p(9) + p(8) - p(5) - p(3) = 30 + 22 - 7 - 3 = 42$

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