4、异构群系统的预备知识与动力学模型

异构群系统的预备知识与动力学模型

1. 图论基础

在图论中，存在无向图和有向图两种类型。无向图中，节点之间的连接没有方向；有向图中，节点之间的连接有方向。例如，存在一个连通无向图和一个带有生成树的有向图。

对于无向图和有向图的拉普拉斯矩阵 (L) 有以下性质：
- 无向图 ：
- (L) 至少有一个特征值为 0，对应的特征向量为 (1_N)，即 (L1_N = 0)。
- 如果图是连通的，那么 0 是 (L) 的单特征值，其余 (N - 1) 个特征值都是正数。
- 有向图 ：
- (L) 至少有一个特征值为 0，对应的特征向量为 (1_N)，即 (L1_N = 0)。
- 如果图有生成树，那么 0 是 (L) 的单特征值，其余 (N - 1) 个特征值的实部都是正数。

下面用表格总结：
| 图的类型 | 特征值性质 |
| ---- | ---- |
| 无向图（连通） | 至少一个 0 特征值，0 为单特征值，其余 (N - 1) 个为正 |
| 有向图（有生成树） | 至少一个 0 特征值，0 为单特征值，其余 (N - 1) 个实部为正 |

2. 代数与矩阵理论

2.1 克罗内克积

对于矩阵 (A = [a_{ij}] \in R^{p×q}) 和 (B \in R^{m×n})，克罗内克积定义为：
(A \otimes B =
\begin{bmatrix}
a_{11}B & a_{12}B & \