计算机组成原理串讲 第二章 数据编码与运算

计算机组成原理串讲　第二章 数据编码与运算（一）

作者：不详　来源：希赛网  http://www.csai.cn  2006年4月28日

第一节 数据编码 一、定点数的编码 定点数 数值表示：（逢二进一） x = x0x1x2…xn xi={0,1}, 0≤i≤n x02n + x12n-1 + … + xn-121 + xn 数值范围 0≤x≤2n+1-1 定点小数 数值表示 x = x0 . x1x2…xn xi={0,1}, 0≤i≤n x12-1 + … + xn-12-n+1 + xn2-n 数值范围 0≤x≤1-2-n 1. 原码表示法 定义（编码规则） [x]原 = [x]原 数值（求值方法） x = (-1)x0（x12n-1 + … xn-12 + xn） x = (-1)x0（x12-1 + … xn-12-(n-1) + xn2-n） 数值范围 -2n +1 ≤ x ≤ 2n -1 -1+2-n ≤ x≤ 1-2-n 简便编码方法：加符号位 表 带符号数的四种编码表示 x0x1x2x3 作为原码编码时代表的值 0000 0 0001 +1 0010 +2 0011 +3 0100 +4 0101 +5 0110 +6 0111 +7 1000 -0 1001 -1 1010 -2 1011 -3 1100 -4 1101 -5 1110 -6 1111 -7 在数轴上的表示： 2. 补码表示法 编码规则 [x]补 = 求值方法 x = -x02n + x12n-1 + … + xn-12 + xn 例如：10000100的真值为-128+4=-124 数值范围 -2n≤ x ≤ 2n -1 简便方法1：正值直接取其原来的二进制码，对于负数是在对其按位取反之后再在最低位加1； 简便方法2：从最低位开始，对遇到的0和第一个1取其原码，从第一个1以后开始直到最高位均取其按位反码。 表 带符号数的四种编码表示 x0x1x2x3 原码 补码 0000 0 0 0001 +1 +1 0010 +2 +2 0011 +3 +3 0100 +4 +4 0101 +5 +5 0110 +6 +6 0111 +7 +7 1000 -0 -8 1001 -1 -7 1010 -2 -6 1011 -3 -5 1100 -4 -4 1101 -5 -3 1110 -6 -2 1111 -7 -1 在数轴上的表示： 模4补码 [x]补 =   3. 反码表示法 [x]反 = x = -x0 (2n - 1) + x12n-1 + … + xn-12 + xn -2n +1≤ x ≤ 2n -1 表 带符号数的四种编码表示 x0x1x2x3 原码 反码 补码 0000 0 0 0 0001 +1 +1 +1 0010 +2 +2 +2 0011 +3 +3 +3 0100 +4 +4 +4 0101 +5 +5 +5 0110 +6 +6 +6 0111 +7 +7 +7 1000 -0 -7 -8 1001 -1 -6 -7 1010 -2 -5 -6 1011 -3 -4 -5 1100 -4 -3 -4 1101 -5 -2 -3 1110 -6 -1 -2 1111 -7 -0 -1 在数轴上的表示： 4. 移码表示法 定义 [x]移 = 2n+x, -2n ≤ x < 2n 数值范围 -2n ≤ x ≤2n - 1 特点：保持了数据原有的大小顺序，便于进行比较操作。 表 带符号数的四种编码表示 x0x1x2x3 原码 反码 补码 移码 0000 0 0 0 -8 0001 +1 +1 +1 -7 0010 +2 +2 +2 -6 0011 +3 +3 +3 -5 0100 +4 +4 +4 -4 0101 +5 +5 +5 -3 0110 +6 +6 +6 -2 0111 +7 +7 +7 -1 1000 -0 -7 -8 0 1001 -1 -6 -7 1 1010 -2 -5 -6 2 1011 -3 -4 -5 3 1100 -4 -3 -4 4 1101 -5 -2 -3 5 1110 -6 -1 -2 6 1111 -7 -0 -1 7 在数轴上的表示： 定点小数没有移码定义 移码与补码的关系 编码表示的常见错误：编码与数值错位，编码带符号位，编码省略高位0   下一页

计算机组成原理串讲　第二章 数据编码与运算（二）

作者：不详　来源：希赛网  http://www.csai.cn  2006年4月28日

第一节 数据编码 二、浮点数的编码 构成：阶码E，尾数M，符号位S，基数R N = (-1)S×M×RE S E M 规格化：为了在尾数中表示最多的有效数据位，为了数据表示的唯一性。 E的编码：移码 M的编码：原码或补码（尾数为补码时的规格化要求） R进制的含义：多个二进制位构成一组，代表一个R进制位（R为2的幂次） 机器零：尾数部分为0，特殊的数据编码(非规格) 浮点数的表示范围： 例：以R为基数，有p位阶码和m位二进制尾数代码的浮点数，阶码采用二进制正整数编码表示，求数值表示范围及可表示的数据个数。 解：最小规格化尾数：1/R 最大规格化尾数：1 - 2-m 最大阶码：2p - 1 最小阶码：0 最小值：1/R 最大值： 规格化尾数个数为2m×(R-1)/R 可表示的数据个数为2p+m(R-1)/R +1。 注：本例中没有符号位，也没有考虑阶码为负的情况。如果考虑这些因素就要考虑阶码和尾数的编码方式。 浮点数的溢出: 浮点数标准(IEEE754) 三种格式：短实数、长实数、临时实数 无定义数据：发信号的S，不发信号的Q 无穷大：+INF, -INF 规格化数： (-1)s×1.f×2e-127 尾数为原码，阶码为特殊移码 非规格化数：（逐级下溢） (-1)s×0.f×2e-126 数值范围： IEEE754浮点数的范围如下表 表2-5 IEEE754浮点数的数值范围 格式 最小值 最大值 单精度 E=1, M=0, 1.0×21-127 = 2-126 E=254, f=.1111…, 1.111…1×2254-127 = 2127×(2-2-23) 双精度 E=1, M=0, 1.0×21-1023 =2-1022 E=2046, f=.1111…, 1.111…1×22046-1023 =21023×(2-2-52) 习题：15、16、19 三、检错码 数据校验码：分组码、卷积码 奇偶校验码 码距：两个合法代码对应位上编码不同的位数 奇偶校验码的原理：在编码中引入一定的冗余，增加代码的最小码距，使得编码中出现一个错误时就成为非法代码。 四、纠错码 线性码：任意两个合法码字求和可得到另一个合法码字。（奇偶校验码不是线性码） 海明码： 码长n=2m - 1 信息位数k=2m - m - 1 校验位数m= n - k 最小码距d = 3 例： 一种(7,4)海明码的定义为： c1 = x1 + x2 + x3 c2 = x2 + x3 + x4 c3 = x1 + x2 + x4 将这些信息位和校验位构成码字w，即 w = {x1,x2,x3,x4,c1,c2,c3}={w1,w2,w3,w4,w5,w6,w7}。 校验方程： w1 + w2 + w3 + w5 = 0 w2 + w3 + w4 +w6 = 0 w1 + w2 + w4 + w7 = 0 矩阵表示： H×W = = 0 H称为校验矩阵。 校正子： S = H×Y = H (W+E) = H×E 其中Y为接收的码字 校正表： 表2-6 (7,4)海明码校正表 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 s1 s2 s3 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 循环码：线性码中若一个n位编码V = {v0,v1,v2,…,vn-1}是码C的一个码字，那么V向 右循环移动一位后的n位编码 V1 = {vn-1,v0,v1,…,vn-2}也是码C的一个码字。 码字多项式表示： V(x) = vn-1xn-1 + … + v1x + v0 循环码的特性：生成多项式可整除循环码多项式。 编码方法一：给定一个码字，生成相同信息位循环码的方法（求余法） = Q(x) + xrB(x) = Q(x)G(x) + R(x) 等式两边加上R(x) xrB(x) + R(x) = Q(x)G(x) 见教材的例子 编码方法二：给定全部代码，求循环码的方法（生成多项式法） 例 对四位信息码1010进行CRC编码，生成多项式是G(x) = x3 + x + 1。 解：(1) 将4位信息码表示为多项式B(x)： B(x) = x3 + x (2) 将信息码多项式与生成多项式相乘，得码字多项式： V(x) = B(x)G(x) = (x3+x)(x3+x+1) = x6 + x3+x2+x (3) 将码字多项式转换成代码表示，得CRC编码结果： 1001110 编码方法三：生成矩阵法 例：G(x) = x3 + x + 1，其生成矩阵是 G =