62. Unique Paths

最新推荐文章于 2025-04-02 22:31:45 发布

原创最新推荐文章于 2025-04-02 22:31:45 发布 · 107 阅读

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本文探讨了一个机器人在m x n网格中从左上角到右下角的不同路径数量问题。提供了三种解决方案：递归方法、动态规划和组合数学方法。最终通过组合数学公式实现了高效的计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked 'Start' in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked 'Finish' in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Above is a 7 x 3 grid. How many possible unique paths are there?

Note: m and n will be at most 100.

Example 1:

Input: m = 3, n = 2
Output: 3
Explanation:
From the top-left corner, there are a total of 3 ways to reach the bottom-right corner:
1. Right -> Right -> Down
2. Right -> Down -> Right
3. Down -> Right -> Right

Example 2:

Input: m = 7, n = 3
Output: 28

解法一：

为了训练自己的递归，所以我第一个想到的方法就是写递归的方法。但是这种方法的复杂度是不能pass的，放出代码：

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        return findPath(m,n,1,1);
    }
    
    public int findPath(int m,int n,int mCurr,int nCurr){
        if(mCurr == m || nCurr == n){
            return 1;
        }else{
            return findPath(m,n,mCurr+1,nCurr)+findPath(m,n,mCurr,nCurr+1);
        }
    }
}

解法二：

既然如此，那就只能是动态规划了。动态规划方程为: res[i][j] = res[i-1][j]+res[i][j-1]。

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        
        int[][] res = new int[m][n];
        for(int i=0;i<m;i++){
            res[i][0] = 1;
        }
        for(int i=0;i<n;i++){
            res[0][i] = 1;
        }
        
        for(int i=1;i<m;i++){
            for(int j=1;j<n;j++){
                res[i][j] = res[i-1][j]+res[i][j-1];
            }
        }
        
        return res[m-1][n-1];
    }
    
    
}

解法三：

实际上就是一个概率问题。本质上是从m+n-2个球里取出m-1个不同的情况，熟悉不？其实就是C(m-1)(m+n-2)，直接套公式就好了，O（n）的复杂度搞定。不过要注意int阶乘后的越界问题。