二维DCT变换

离散余弦变换，尤其是它的第二种类型，经常被信号处理和图像处理使用，用于对信号和图像（包括静止图像和运动图像）进行有损数据压缩。这是由于离散余弦变换具有很强的"能量集中"特性:大多数的自然信号（包括声音和图像）的能量都集中在离散余弦变换后的低频部分，而且当信号具有接近马尔可夫过程（Markov processes）的统计特性时，离散余弦变换的去相关性接近于K-L变换（Karhunen-Loève变换——它具有最优的去相关性）的性能。

例如，在静止图像编码标准JPEG中，在运动图像编码标准MJPEG和MPEG的各个标准中都使用了离散余弦变换。在这些标准制中都使用了二维的第二种类型离散余弦变换，并将结果进行量化之后进行熵编码。这时对应第二种类型离散余弦变换中的n通常是8，并用该公式对每个8x8块的每行进行变换，然后每列进行变换。得到的是一个8x8的变换系数矩阵。其中(0,0)位置的元素就是直流分量，矩阵中的其他元素根据其位置表示不同频率的交流分量。

一个类似的变换, 改进的离散余弦变换被用在高级音频编码（AAC for Advanced Audio Coding），Vorbis 和 MP3 音频压缩当中。

离散余弦变换也经常被用来使用谱方法来解偏微分方程，这时候离散余弦变换的不同的变量对应着数组两端不同的奇/偶边界条件。

DCT(Discrete Cosine Transform)，又叫离散余弦变换，它的第二种类型，经常用于信号和图像数据的压缩。经过DCT变换后的数据能量非常集中，一般只有左上角的数值是非零的，也就是能量都集中在离散余弦变换后的直流和低频部分，下面我会用matlab来演示整个过程。

1.一维DCT变换

我们首先来看看一维的DCT变换，这是二维的基础。一维的DCT变换共有8种，其中最实用的是第二种形式，公式如下：

其中c(u)是加上去一个系数，为了能使DCT变换矩阵成为正交矩阵，在后面二维变换将看到他的作用。N是f(x)的总数。相比其他几种形式，他的运算还是比较简单的，因此也用的比较广。

2.二维DCT变换

二维DCT变换是在一维的基础上再进行一次DCT变换，这个比较好理解，直接看公式：

这里我只讨论两个N相等的情况，也就是数据是方阵的形式，在实际应用中对不是方阵的数据都是先补齐再进行变换的。为了matlab仿真方便点，写成矩阵形式：

下面就用matlab来模拟一下，使用随机生成的4×4矩阵作为输入，程序如下：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

clear; clc; X=round(rand(4)*100);%随机生成的数据 A=zeros(4);%变换矩阵 for i=0:3      for j=0:3          if i==0              a=sqrt(1/4);          else              a=sqrt(2/4);          end                     A(i+1,j+1)=a*cos(pi*(j+0.5)*i/4);      end end Y=A*X*A';%DCT变换 YY=dct2(X);%用matlab中的函数进行DCT变换

Y是使用上面的公式进行变换，YY是用matlab自带的dct2函数变换，结果是是：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

X =      61    19    50    20      82    26    61    45      89    90    82    43      93    59    53    97       Y =    242.5000   32.1613   22.5000   33.2212    -61.8263    7.9246  -10.7344   30.6881    -16.5000  -14.7549   22.5000   -6.8770      8.8322   16.6881  -35.0610   -6.9246       YY =    242.5000   32.1613   22.5000   33.2212    -61.8263    7.9246  -10.7344   30.6881    -16.5000  -14.7549   22.5000   -6.8770      8.8322   16.6881  -35.0610   -6.9246

可以看出Y和YY的结果是一样的，这也进一步验证了上面的公式是正确的。由于X是我随机生成的，相关性很小，变换后的结果比较乱；如果是信号或图像这样相关性比较大的数据的话，数值会集中在左上角，右下角一般都是零，再使用“之”字型扫描得到数据流会包含很多连续的零，编码后数据量会非常小，这就是DCT变换带来的好处。

3.二维DCT反变换

DCT逆变换的公式如下：

矩阵形式可以由正变换的公式直接推出来，因为在A中加了c(i)这个系数，使得A成为了正交矩阵，所以我们就可以这样做：

在用matlab来验证是否能反变换出原来的数据：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

clear; clc; X=[      61    19    50    20      82    26    61    45      89    90    82    43      93    59    53    97]; A=zeros(4); for i=0:3      for j=0:3          if i==0              a=sqrt(1/4);          else              a=sqrt(2/4);          end                     A(i+1,j+1)=a*cos(pi*(j+0.5)*i/4);      end end Y=A*X*A'; X1=A'*Y*A;

X使用的是上面正变换用的数据，运行后得到的X1为：

1 2 3 4 5

X1 =     61.0000   19.0000   50.0000   20.0000     82.0000   26.0000   61.0000   45.0000     89.0000   90.0000   82.0000   43.0000     93.0000   59.0000   53.0000   97.0000

和X完全相等。在实际进行编码的时候，比如JPEG压缩的时候，只会对Y左上角的数据进行传输，所以解码出来的内容不会完全和原来的相同。

4.整数DCT变换

说道DCT就顺便提一下x264中的整数DCT变换，整数DCT变换是以DCT变换为基础的，为了减少计算量做的一些调整，下面我写一下整数DCT变换公式的大致推导过程：

然后根据A是正交矩阵，把c=bd带入A中，使行向量为单位向量可以得到d=0.4142。令d=0.5，得到b*b=0.4,代入上面的式子中，把0.5提取出来放到右边的点乘中就得到了：

这样在对大括号部分进行计算时就都是加法和减法了，而且在精度上没有太大降低。在x264实际编码中，变换和量化是一起进行的，使得编码速度有了很大的提高。