模板-中国剩余定理

最新推荐文章于 2021-05-27 22:57:25 发布

misayap

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分类专栏：中国剩余定理算法&&模板

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中国剩余定理

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本文介绍中国剩余定理的基本概念及其应用，并通过一个具体的编程实现案例，详细展示了如何求解此类数学问题。该程序使用C++语言编写，通过循环找到特定的解，最终输出满足所有同余方程的最小非负整数解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

用现在的语言说，中国剩余定理是这样的：

x≡a1(mod m1)
x≡a2(mod m2)
······
x≡ar(mod mr)
其中m两两互质，此时x一定有解。

由于诸mi（1≤i≤r）两两互素，这个方程组作变量替换，令x=（N/mi）*y，方程组等价于解同余方程：

（N/mi）y≡1（mod mi），若要得到特解yi，只要令：
xi=（N/mi）*yi，则方程组的解为：x0=b₁x₁+b₂x₂+…+brxr（mod N），在模N意义下唯一。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100005;
int n,a[maxn],b[maxn];  //n组数据，a数组为余数，b数组为除数 
int sum=1,ans;  //sum为除数的成绩,ans为答案。 
int main() {
    scanf("%d",&n);
    for(register int i=1; i<=n; i++) {
        scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
        sum*=b[i];
    }
    for(register int i=1; i<=n; i++) {
        int z=sum/b[i];     //z为公式中的N/mi。   
        int s=0;            //s为yi。 
        while(1) {
            s++;
            if((z*s)%b[i]==1)
                break;
        }
        ans+=s*z*a[i];  //累加公式中的bi*xi。 
    }
    ans%=sum;
    printf("%d",ans);
}