关于辗转相除法求最大公约数的原理

下面是从网上整合的资料：

辗转相除法，即欧几里德算法。

方法：

大数/小数（即两个数中较小的数）：如果能整除，则最大公约数=小数；如果不能整除，则 除数/余数，循环直至整除，最大公约数=除数。

例子：求511和292的最大公约数？

解：511/292=1余219，292/219=1余73，219/73=3，则最大公约数为73。

基本原理：

问题：如果要求两个正整数a和b（假设a>b，其实这并不影响求解算法）的最大公约数。

表示a=b×q+r  其中，q表示a除以b所得的商，r表示余数。

则gcd(a,b)=gcd(b,r)。 (最大公约数greatest common divisor,gcd)

可以看出，如果一个数能够同时整除a和b，则必能同时整除b和r；而能够同时整除b和r的数也必能同时整除a和b。即a和b的公约数与b和r的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的。

定义：

对於两个自然数 a 和 b,若存在正整数 q,使得 a=bq,则 b 能整除 a,记作 b | a,我们叫 b 是 a 的因数,而 a 是 b 的倍数. 那么如果 c | a,而且 c | b,则 c 是 a 和 b 的公因数.由此,我们可以得出以下一些推论:

推论一:如果 a | b,若 k 是整数,则 a | kb.因为由 a | b 可知 ha=b,所以 (hk)a=kb,即 a | kb.

推论二:如果 a | b 以及 a | c,则 a | (b±c).因为由 a | b 以及 a | c,可知 ha=b,ka=c,二式相加,得 (h+k)a=b+c,即 a | (b+c).同样把二式相减可得 a | (b-c).

推论三:如果 a | b 以及 b | a,则 a=b.因为由 a | b 以及 b | a,可知 ha=b,a=kb,因此 a=k(ha),hk=1,由於 h 和 k 都是正整数,故 h=k=1,因此 a=b.