数据结构和算法简介

数据结构和算法

数据结构和算法是不可分割的关系，数据结构是程序的基础，算法将数据互相联系起来，形成一套能解决问题的方案。
程序 = 数据结构 + 算法
在解决问题时，一般会优先确定数据结构，然后再来完善算法。

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数据结构（Data Structure）的分类

有两类数据结构：

• 如果数据元素不能再分，则称为原子项；
• 如果数据元素由若干个数据项组成，则称为组合项。

数据结构有两个要素：一个是数据元素的集合，另一个是关系的集合。
数据结构按数据元素之间关系的不同，可分为以下四种基本结构：

• 集合结构。数据元素属于同一个集合。
• 线性结构。数据元素之间存在着一对一的关系，常见的有链表、队列、栈等。
• 树形结构。数据元素之间存在着一对多的关系，常见的有二叉树、二叉查找树、平衡二叉树等。
• 图形结构。数据元素之间存在着多对多的关系。

数据结构按照存储方式的不同，可以分为顺序存储结构和链式存储结构，具体如下：

• 顺序存储结构，表示数据元素在存储器中是连续存储的，可以用相对位置表示数据元素的逻辑结构，如顺序表、队列、栈等。
• 链式存储结构，每个数据元素里设置了一个指针指向另一个元素的存储地址，以此来表示数据元素之间的逻辑结构。

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算法（Algorithm）简介

算法有以下5个特征：

• 有穷性：算法必须在执行有限个操作后终止。
• 确切性：算法的每个操作必须有明确的定义。
• 输入项：有零个或多个输入，描述算法的初始状态。
• 输出项：有一个或多个输出，没有输出的算法是没有意义的。
• 可行性：算法的每个计算操作都可以在有限时间内完成。

算法的复杂度

算法的复杂度是评估算法性能优劣的重要指标。
算法的复杂度分空间复杂度和时间复杂度

时间复杂度

时间频度：算法中语句的执行次数，用T(n)表示，n为问题的规模

时间频度的表达方式有点复杂，故引入时间复杂度的概念，具体如下：

若一个辅助函数f(n)，在n趋向无穷大时，T(n)/f(n)的极限为不等于0的常数，则我们近似地将f(n)替代T(n)，记为T(n)=O(f(n))，称为算法的渐进时间复杂度

时间复杂度最关心算法中最耗时的部分，舍去常数部分，通常用简单的函数来表示：

常数阶	对数阶	线性阶	线性对数阶	平方阶	立方阶	指数阶	阶乘阶
O(1)	O(logn)	O(n)	O(nlogn)	O(n2)	O(n3)	O(2n)	O(n!)

以下程序的T(n)=n²+n+logn，取其中最耗时的部分，则时间复杂度为O(n²),代码如下：

for (int i = 0; i < n; ++i) {
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
        a++;
    }
}

for (int i = 0; i < n; ++i) {
    b++;
}

while (n) {
    n = n / 2;
}

空间复杂度

算法的空间复杂度是指运行该算法所占用的存储空间大小，记为S(n)，和时间复杂度类似，通常也取其渐进时间复杂度。
如下代码，可以计算S(n)=n+n²，其空间复杂度为O(n²)：

int *a = new int[n];
int **b = new int*[n];
for (int i = 0; i < n; ++i) {
    b[i] = new int[n];
}