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General plots
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历史图（History）
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- 图的构成与信息展示：以设计 ID 为横坐标，代表设计的迭代顺序；以目标值为纵坐标，展示每个设计对应的目标函数值。在简单函数问题示例里，研究目标是求解函数 \(f(x)\) 的最小值，图中就会展示在不同设计 ID 下 \(f(x)\) 的取值变化。图中还会用蓝色线表示当前找到的最佳设计的目标值，黄色点标记最佳设计，灰色点标记基线设计，通过这种方式，用户可以直观地看到随着设计的不断迭代，目标值是如何变化的，以及最佳设计与基线设计在目标值上的差异。
- 在研究中的作用
- 监控优化进程：帮助用户实时了解优化过程中目标值的收敛情况。在迭代初期，如果目标值波动较大，说明优化算法还在探索不同的设计空间；随着迭代次数增加，若目标值逐渐趋于稳定且向最优值靠近，表明优化算法正在有效工作，逐步找到更优的设计方案。在悬臂梁设计优化中，通过观察 Objective History 图，可了解随着设计变量的调整，梁的质量（目标值）是如何逐渐减小并趋于稳定的。
- 评估算法性能：从图中目标值的变化趋势和收敛速度，可以评估所选用的优化算法的性能。若算法能使目标值快速收敛到一个较好的水平，说明该算法在这个问题上表现良好；反之，如果目标值长时间没有明显改善，可能需要调整算法参数或更换算法。在不同算法的对比研究中，通过观察各自的 Objective History 图，能直观判断哪种算法在寻找最优解时效率更高 。
- 判断设计优劣：通过对比不同设计的目标值，能直观判断设计的优劣。最佳设计的目标值通常是最接近理想值的，用户可以根据目标值的变化，快速筛选出较优的设计方案，为后续的设计决策提供依据。在 3 杆桁架机构设计中，可依据目标值判断不同设计方案在满足约束条件下，使总重量最小化的效果，从而选择最优设计 。
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2D关系图(2D Relation)
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2D Relation 图即二维关系图，是 HEEDS MDO 软件在结果分析中常用的可视化工具，用于展示两个变量或响应之间的关系，辅助用户深入理解数据和优化设计。
- 图的构成与作用：该图以二维坐标系为基础，将两个变量或响应分别置于横轴和纵轴，通过点的分布展示它们之间的关联。在 3 杆桁架机构设计的相关分析中，若将位移（如 Umax）和应力（如 Sig1max）分别设为横、纵轴，图中的点就代表不同设计方案下这两个参数的取值。其主要作用是直观呈现两个因素之间的变化趋势，帮助用户判断它们是正相关、负相关还是无明显关联，为评估设计方案提供直观依据。
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(并行图)parallel
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并行图以多个平行的坐标轴来呈现不同变量和响应的值。在每个坐标轴上，会展示对应变量或响应在不同设计方案中的取值范围。不同设计方案的线条会在图中同时展示，通常用不同颜色区分。
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3D关系图(3D Relation)
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3D Relation 图是 HEEDS MDO 软件中用于可视化分析的重要工具，以三维空间展示三个变量或响应之间的关系，在多个示例问题中发挥着关键作用，帮助用户深入理解设计数据和优化设计方案。
- 图的构成与功能：该图通过 X、Y、Z 三个坐标轴，分别代表三个不同的变量或响应。在悬臂梁设计的相关分析中，可将梁的体积、最大应力和最大挠度分别置于三个坐标轴上。图中的每个点代表一个设计方案在这三个参数上的取值，通过点的分布，用户能直观地看到不同设计方案在三维空间中的位置和分布情况。其主要功能是展示三个因素之间的相互关系，揭示在不同设计变量组合下响应的变化趋势，帮助用户发现变量之间的潜在联系和规律，评估设计方案在多个指标下的综合表现。
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设计表(Design Table)
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Design Table（设计表）是 HEEDS MDO 软件中用于展示设计详细信息的关键工具，在多个示例问题中都有应用，为用户分析和比较不同设计方案提供了清晰、直观的数据呈现方式。
- 数据呈现形式：Design Table 以表格形式呈现每个设计的具体信息，包括性能评级、变量值和响应值等。在简单函数问题示例中，表格会列出每个设计对应的函数值（如f）、变量值（如x）以及性能评级。在悬臂梁设计示例里，会展示梁的不同设计方案下的体积、最大应力、最大挠度等响应值，以及变量如b1、h1、b2、H的值，方便用户对不同设计方案进行详细的数据对比。
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参数关联图（Correlation Plot）
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参数关联图（Correlation Plot）是 HEEDS MDO 软件在结果分析中用于展示变量与响应之间、变量与变量之间以及响应与响应之间相关性的重要工具，有助于深入理解设计参数间的内在联系，为优化设计提供依据。
展示内容
直方图：位于参数关联图的对角线上，展示每个变量和响应值的分布情况，并与正态分布进行对比。在稳健性和可靠性分析示例中，通过对比可判断变量值是否符合预期分布，评估样本的合理性。
相关系数：在图的右上角区域，用数字表示不同变量和响应组合之间的相关性。数值接近 1 或 -1 ，代表高相关性，意味着这些变量或响应的变化倾向于同时发生；数值接近 0，则表示低相关性，即变化倾向于独立发生。在研究中，MaxStress 和 MaxDisp 的相关系数显示二者高度正相关，表明它们会一起上升或下降 。
散点图：处于图的左下角区域，展示不同变量和响应组合的散点分布，其叠加直线的斜率即为相关系数。通过散点图的形状和直线斜率，能直观判断变量和响应之间的线性关系，以及关系的强弱。
应用场景及作用
评估变量样本质量：在进行设计优化时，通过观察变量与变量之间的相关性，可判断评估样本是否合理。若变量值未良好遵循选定的分布，或变量对之间显示出高相关性，可能需要重新运行评估或调整随机种子。在对某产品的多参数研究中，若发现某些变量间相关性过高，可能影响实验结果的独立性和准确性，需重新设计实验 。
分析响应间的权衡关系：从响应与响应的相关性分析中，能了解不同响应之间的相互影响。如在悬臂梁设计研究中，发现 Volume 与 MaxStress、MaxDisp 呈高度负相关，这表明在优化设计时，若想降低 Volume，可能会导致 MaxStress 和 MaxDisp 增加，设计师需在这些响应之间进行权衡 。
确定关键影响变量：通过响应与变量的相关性分析，可找出对响应影响较大的变量。在上述悬臂梁研究中，发现 MaxStress 和 MaxDisp 与变量 H 的相关性较高，而与 b2 的相关性较低，这意味着在优化设计时，调整 H 对改善 MaxStress 和 MaxDisp 的效果更显著，b2 相对不太重要。
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概率分布图(Probability distribution)
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概率分布图（Probability distribution）主要用于在稳健性和可靠性分析场景下，展示响应值的分布情况，帮助用户评估设计在不同变量取值下的性能稳定性和可靠性，以悬臂梁设计的稳健性和可靠性分析为例进行说明。
图的构成与展示内容：该图以响应值为横轴，以概率密度或累计概率为纵轴。在悬臂梁的稳健性和可靠性研究中，会展示如体积（Volume）、最大应力（MaxStress）和最大挠度（MaxDisp）等响应的概率分布情况。图中会呈现出曲线，展示不同响应值出现的概率分布特征，同时还会给出一些统计信息，如均值（Mean）、方差（Variance）和标准差（Std.Dev.），这些信息位于图的顶部，用于描述响应值的集中趋势和离散程度 。
在研究中的作用
评估设计可靠性：通过观察概率分布图，用户可以直观地了解到设计在不同响应值下的可能性。如果某设计的最大应力响应值的概率分布较为集中，且大部分概率落在允许的应力范围内，说明该设计在承受应力方面具有较高的可靠性；反之，如果分布较为分散，且有较大概率超出允许范围，则说明设计的可靠性较低，可能需要进行改进 。
分析变量变化影响：在考虑变量随机变化的情况下，概率分布图能展示出响应值的变化范围和可能性。在悬臂梁设计中，当对材料的杨氏模量等变量引入随机变化后，通过观察概率分布图，可了解这些变化对体积、应力和挠度等响应的影响程度。若变量变化导致响应值的概率分布发生较大变化，表明设计对该变量较为敏感，需要在设计过程中特别关注 。
指导设计改进：基于概率分布图的分析结果，用户可以针对性地调整设计变量或优化设计方案。如果发现某个响应值超出允许范围的概率较高，可以尝试调整相关变量的取值范围或改变设计结构，以降低这种风险，提高设计的稳健性和可靠性 。
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累积分布(cumulative distribution)
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累积分布（cumulative distribution）在 HEEDS MDO 的分析结果呈现中具有重要作用，常以累积分布函数（CDF）的形式在图表中展示。它描述了随机变量小于或等于某个特定值的概率，为分析设计的可靠性和变量影响提供了独特视角。
图表呈现与数据含义：在相关分析结果图中，累积分布以曲线形式展示。横坐标为变量或响应的值，纵坐标为累积概率，取值范围从 0 到 1。在对产品可靠性研究中，若关注产品寿命这一变量的累积分布，横坐标表示产品寿命，纵坐标则代表在该寿命及之前产品失效的累积概率。当纵坐标为 0.5 时，对应的横坐标值意味着有 50% 的产品在该寿命之前失效。
在设计评估中的作用
评估产品可靠性：通过累积分布能直观评估产品在不同条件下的可靠性。在评估电子元件可靠性时，若其寿命的累积分布曲线在较短时间内就上升至接近 1，表明该元件在较短时间内失效的概率高，可靠性差；反之，曲线上升缓慢，说明元件能在较长时间内保持正常工作，可靠性高。
分析变量影响：用于分析设计变量对响应的影响。在汽车零部件设计中，改变某一设计变量（如材料厚度），对比不同变量值下产品关键性能指标（如疲劳寿命）的累积分布曲线。若曲线发生明显变化，说明该变量对产品性能影响大；若曲线变化小，则影响较小。
确定设计参数：在设计过程中，累积分布可帮助确定设计参数。在机械零件设计中，依据累积分布曲线确定满足一定可靠性要求（如 95% 可靠性）的零件尺寸或材料参数等，确保产品在实际使用中达到预期性能。
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模型视图(model view)
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在 HEEDS MDO 软件中，Model View（模型视图）是用于展示和分析设计模型相关信息的重要功能，为用户提供了直观观察和理解设计模型的途径，在多个设计场景中发挥着关键作用。
功能概述：Model View 能够以可视化的方式呈现设计模型的几何形状、结构以及相关属性信息。在机械零件设计项目里，它可以展示零件的三维模型，让用户清晰看到零件的形状、尺寸以及各个部件之间的装配关系。通过该视图，用户能够对设计模型进行多角度观察，还能查看模型的详细属性数据，如材料特性、几何尺寸参数等，为深入分析设计提供基础。
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曲线拟合图(curve fit plot)
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用于展示实际数据与拟合曲线的对比情况，帮助用户评估模型对数据的拟合效果，判断设计变量与响应之间的关系是否符合预期。
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自组织映射图(self-organizing map)
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在复杂机械系统的设计优化中，存在多个设计变量（如零件尺寸、材料属性等）和响应（如系统性能、可靠性等）。使用 SOM 可以将这些高维数据映射到二维平面上，设计师可以通过观察二维平面上数据点的分布，快速识别出不同性能表现的设计聚类，发现哪些设计变量组合能够产生相似的系统性能，为进一步的优化设计提供指导。在材料设计领域，对于包含多种成分和性能指标的材料数据，SOM 可以将这些数据进行可视化处理，帮助研究人员发现具有相似性能的材料成分组合，探索新的材料配方。
通过使用自组织映射（SOM， Self-Organizing map）识别参数中的模式，选择模式以发现设计点之间的规律。SOM根据特定的模式和参数值的关系进行设计。每个单元都类似于一个设计簇（design cluster），SOM倾向于使相似的单元彼此靠近。选择要包含在SOM中的变量和结果参数后，单击单元格以高亮显示设计。
自组织映射（SOM）是一种人工神经网络，它通过无监督学习产生空间名为映射（map）的二维离散表示。SOM可以被认为是主成分分析（PCA）的一种非线性推广，因为它用有限数量的单元来表示整个数据集。
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热图(heat map)
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在 HEEDS MDO 的设计优化过程中，热力图可用于展示不同设计变量组合下的目标函数值或约束条件的满足情况。在汽车发动机设计优化中，将发动机的多个设计参数（如压缩比、喷油时间等）作为变量，发动机的燃油效率作为目标函数，通过热力图可以直观地看到哪些参数组合能使燃油效率达到较高水平，哪些组合存在不满足约束条件的情况，帮助工程师快速找到优化方向，提高设计效率 。
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Optimization plots：
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约束违反(constraint violations)
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在 HEEDS MDO 软件的设计优化过程中，Constraint Violations（约束违反）图用于直观展示设计方案对各项约束条件的满足情况，是评估设计可行性和优化效果的重要工具，在多个示例问题中发挥关键作用。
图的构成与信息展示：该图以设计方案相关指标为横坐标，通常展示不同约束条件下设计方案的违反情况。在 3 杆桁架机构设计示例中，横坐标可能包含 Umin、Vmin、Umax、Vmax、Sig1min、Sig2min 等多种约束条件，纵坐标表示约束违反的频率或数量。图中会为每个约束条件生成对应的图表元素，通过这些元素的高度或长度等视觉特征，展示该约束在所有设计方案中被违反的情况。如果某个约束条件的图表元素较高，说明该约束在较多设计方案中被违反；反之则表示该约束在大多数设计方案中得到了满足。
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二维帕累托前沿图(2D pareto front plot)
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2D Pareto Front Plot（二维帕累托前沿图）是多目标优化中极为关键的可视化工具，用于呈现两个目标之间的权衡关系，帮助决策者在多个冲突目标间找到最优平衡，在工程设计、资源分配等众多领域应用广泛。
图的构成与原理：该图以二维坐标系展示，两个坐标轴分别代表两个不同的目标函数值。在复合齿轮系设计的多目标优化场景中，常以设计齿轮比与期望齿轮比的误差（Error）为横轴，四个齿轮中最大的齿数（MaxTeeth）为纵轴。图中的每一个点都对应一个设计方案在这两个目标上的取值，所有非支配设计点构成的集合形成帕累托前沿曲线。非支配设计是指在至少一个目标上表现更优，且在其他目标上不劣于其他设计的方案。随着优化过程推进，算法不断搜索设计空间，找到更多非支配设计，使帕累托前沿逐渐清晰。
在多目标优化中的作用
呈现权衡关系：直观呈现两个目标之间的权衡情况。在实际设计中，往往无法同时优化所有目标，2D Pareto Front Plot 能清晰展示当一个目标改善时，另一个目标的变化趋势。在汽车设计中，若目标是降低油耗和提高动力性能，该图可展示出在不同设计方案下，降低油耗可能会使动力性能下降的具体情况，帮助设计师了解不同目标间的冲突与平衡。
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三维帕累托前沿图(3D pareto front plot)
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3D Pareto Front Plot（三维帕累托前沿图）是多目标优化分析里用于展示三个目标之间关系的重要工具，通过三维空间呈现非支配解的分布，为处理多目标优化问题提供全面视角。
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DOE plots：
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二维响应面(2D response surface)、
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能直观地展示两个自变量对因变量的综合影响。可以清晰看到因变量在不同自变量组合下的变化趋势，比如在产品质量控制中，若自变量是加工温度和加工时间，因变量是产品的强度，通过二维响应面能直观了解到在什么温度和时间范围内，产品强度较高或较低。
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二维响应面(3D response surface)、
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展示三个自变量与一个因变量之间的关系。在三维空间中，三个坐标轴分别代表三个自变量，而因变量的值通过空间中的曲面来表示。其构建基于大量实验数据或模拟结果，使用数学模型（如多项式模型）对数据进行拟合，以得到一个能够描述自变量与因变量之间关系的曲面方程。通过这个曲面，可以直观地看到因变量如何随着三个自变量的变化而变化。
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响应面拟合(response surface fit)、
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响应面拟合，是实验设计与数据分析中的重要方法，用于建立自变量和因变量之间的定量关系模型。
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影响图(influence)、
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在 HEEDS MDO 软件中，Influence 图（影响图）是一种用于展示变量和响应之间关系的重要可视化工具，在多个示例问题中发挥着关键作用，有助于用户深入理解设计因素对响应的影响。
图的构成与作用：Influence 图（影响图），也叫 Pareto Chart（帕累托图），以直观的方式呈现每个因素（变量）及其组合对给定响应的影响程度，以百分比形式展示，所有因素影响的总和为 100%。在弹簧设计的 DOE 研究示例中，该图能清晰展示如 coil_diam（线圈直径）、wire_diam（线径）和 num_coils（匝数）等变量对 deflection（挠度）、shear_stress（剪应力）和 mass（质量）等响应的影响占比。通过图表，用户可以快速判断哪些变量对响应的影响较大，哪些变量的影响较小，从而为优化设计提供依据。
根据上图：线径（wire_diam）和线圈直径（coil_diam）对挠度（deflection）的影响（红色条形图所示）比匝数（num_coils）更大。
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变量效应图(variable effects)、
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Variable Effects 图（变量效应图）是 HEEDS MDO 软件中用于展示变量对响应影响的重要可视化工具，通过直观呈现变量与响应之间的关系，帮助用户深入理解设计空间，为优化设计提供关键依据。
图的构成与展示内容：该图以坐标轴展示变量和响应的关系，通常横轴为变量取值，纵轴为响应值。在螺旋弹簧的 DOE 研究示例中，若分析线圈直径（coil_diam）、线径（wire_diam）和匝数（num_coils）对挠度（deflection）的影响，横坐标会呈现这三个变量的不同取值，纵坐标则是对应的挠度值 。通过绘制不同变量水平下的响应数据点，并连接这些点形成线条，展示变量变化时响应的变化趋势。线条的斜率直观反映变量对响应的影响程度，斜率越大，影响越显著；斜率为正，表示变量增加时响应增加；斜率为负，则表示变量增加时响应减小。
在该示例中，Variable Effects 图以变量为横轴，响应值为纵轴，通过线条展示变量变化时响应的变化趋势。以研究线圈直径（coil_diam）、线径（wire_diam）和匝数（num_coils）这三个变量对挠度（deflection）的影响为例，每个变量的不同取值对应着相应的挠度值，这些数据点连接形成的线条直观呈现了变量与响应之间的关系。如在展示变量对挠度影响的图中，能看到随着线径（B）增加，挠度减小；而随着线圈直径（A）和匝数（C）增加，挠度增大 。
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interaction
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图的构成与原理：Interaction 图以二维或三维图形展示，其中一个轴表示一个自变量，另一个轴表示另一个自变量，图中的线条或曲面表示响应变量的值。在螺旋弹簧的例子里，研究线圈直径（coil_diam）、线径（wire_diam）和匝数（num_coils）对挠度（deflection）、剪切应力（shear_stress）等响应的影响时，若分析线圈直径和线径的交互作用，会以线圈直径为横轴，线径为纵轴，不同线条代表不同匝数取值下，挠度随线圈直径和线径变化的情况。其原理是基于实验数据，通过绘制不同自变量组合下的响应值，呈现变量间的交互作用效果。
在分析中的作用
揭示变量交互影响：清晰呈现变量之间的交互作用对响应的影响。在螺旋弹簧设计中，从 Interaction 图可以看出，当线径处于不同水平时，线圈直径对挠度的影响不同。当线径处于高值时，线圈直径的变化对挠度影响较小；而线径处于低值时，线圈直径增大则挠度增大。这说明两个变量不是独立影响响应，而是相互作用，这种信息对于准确把握设计因素的影响至关重要。
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