找最近点对问题-分治算法的应用

 

    分治算法的基本思想是：

    分（divide）：递归求解子问题，即：分解+求解，将问题分解为k个方便求解的小问题。

    为什么说是递归求解呢，这里可以看作将一个问题分2个子问题，如果2个子问题还是大，再继续分成4个子问题，直到分解到能方便求解的小问题。也就是说分治算法是含有2个以上的递归运算，只有一个递归的例程不能算做分治算法。

    治（conquer）：从子问题构建原问题的解。

    对于分治，最长用到的复杂度分析情况为：

    T(N) = aT(N/b) + O(N^k)

    当a=b^k时， T(N)=O(N^k*logN)

    比如，非常常见的二分法： T(N) = 2T(N/2) + O(N) ,此时a=2, b=2, k=1 即a=b^k,所以 该算法的复杂度为 O(NlogN)

     从另一个角度，反向分析问题，如果我们希望得到一个O(NlogN)的算法，那么就需要保证附加工作为O(N),这是一个非常非常关键的利用分治算法解决问题的入手点！！！

    而且这个复杂度也是大多数分治算法问题的情况。 当然还有另外两种>, < 情况，就参考书上的详细讲解吧。

    

    下面以一个例子详细介绍如何应用分治算法。

    最近点对问题：给定平面上的N个点，找出距离最近的两个点。

    对于该问题，算法过程并不算复杂，但要想编程实现，需要克服不少细节问题。

    首先应该实现Point类：

     Point.h:

#include <iostream>
class Point
{
public :
    Point( double x , double y);
    double getx() const
    {
        return m_x;
    }
    double gety() const
    {
        return m_y;
    }
    friend std :: ostream & operator <<( std :: ostream & os , const Point & p);
   
private :
    double m_x;
    double m_y;
};

    Point.cpp:

#include "Point.h"

Point :: Point( double x , double y) : m_x( x ), m_y( y)
{
}

std :: ostream & operator <<( std :: ostream & os , const Point & p)
{
    os << "P(" <<p . getx() << "," <<p . gety() << ")";
    return os;
}

 

    这里有几点要注意：重载<<，友元函数的应用，初始化的位置。不多介绍了，代码很简单，上点心看看就好。 

    接下来，是解决该问题的具体过程：

    1. 最简单的解法就是蛮力法：把每两个点的距离求出来，然后找出最小值即可。

       虽然，该算法很简单，但编程实现时，从该笨方法起步会有一个很好的过渡，不至于编码难度过陡。

       于是我们需要：计算两点距离的函数 Distance， 求最近点对函数 FindShortPair， 一组点 Point p []用以测试， 打印点函数 PrintPoints用于观察。

       代码如下：       上面的代码完成了很多该问题算法的外围工作，最重要的是提供了测试环境。注意const的应用，double，int型的定义。

#include "Point.h"
#include <cmath>

double Distance( const Point & s , const Point & t)
{
    double squarex = ( s . getx() - t . getx() ) * ( s . getx() - t . getx() );
    double squarey = ( s . gety() - t . gety() ) * ( s . gety() - t . gety() );
    return sqrt( squarex + squarey );
}

void FindShortPair( const Point * p , int num)
{ //can only find one of the shortest path
    double distance = Distance(p [ 0 ], p [ 1 ]);
    int start = 0;
    int end = 1;
    for ( int i = 0; i < num; i ++)
    {
        for ( int j = i + 1; j < num; j ++)
   &nbs