算法时间复杂度的计算方法

基本的计算步骤 

时间复杂度的定义
 
    一般情况下,算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数,用T(n)表示,若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时,T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度(O是数量级的符号 ),简称时间复杂度。

根据定义,可以归纳出基本的计算步骤 
1. 计算出基本操作的执行次数T(n) 
    基本操作即算法中的每条语句(以;号作为分割),语句的执行次数也叫做语句的频度。在做算法分析时,一般默认为考虑最坏的情况。

2. 计算出T(n)的数量级 
    求T(n)的数量级,只要将T(n)进行如下一些操作:
    忽略常量、低次幂和最高次幂的系数

    令f(n)=T(n)的数量级。

3. 用大O来表示时间复杂度 
    当n趋近于无穷大时,如果lim(T(n)/f(n))的值为不等于0的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))。


一个示例: 
(1) int num1, num2;
(2) for(int i=0; i<n; i++){ 
(3)     num1 += 1;
(4)     for(int j=1; j<=n; j*=2){ 
(5)         num2 += num1;
(6)     }
(7) }
 

分析:
1.
语句int num1, num2;的频度为1;
语句i=0;的频度为1;
语句i<n; i++; num1+=1; j=1; 的频度为n;
语句j<=n; j*=2; num2+=num1;的频度为n*log2n;
T(n) = 2 + 4n + 3n*log2n

2.
忽略掉T(n)中的常量、低次幂和最高次幂的系数
f(n) = n*log2n

3.
lim(T(n)/f(n)) = (2+4n+3n*log2n) / (n*log2n)
                     = 2*(1/n)*(1/log2n) + 4*(1/log2n) + 3

当n趋向于无穷大,1/n趋向于0,1/log2n趋向于0
所以极限等于3。

T(n) = O(n*log2n)

简化的计算步骤 

再来分析一下,可以看出,决定算法复杂度的是执行次数最多的语句,这里是num2 += num1,一般也是最内循环的语句。

并且,通常将求解极限是否为常量也省略掉?

于是,以上步骤可以简化为: 
1. 找到执行次数最多的语句 
2. 计算语句执行次数的数量级
3. 用大O来表示结果
 

继续以上述算法为例,进行分析:
1.
执行次数最多的语句为num2 += num1

2.
T(n) = n*log2n
f(n) = n*log2n

3.
// lim(T(n)/f(n)) = 1
T(n) = O(n*log2n)

 

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一些补充说明 
最坏时间复杂度 
    算法的时间复杂度不仅与语句频度有关,还与问题规模及输入实例中各元素的取值有关。一般不特别说明,讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。

求数量级 
即求对数值(log),默认底数为10,简单来说就是“一个数用标准科学计数法表示后,10的指数”。例如,5000=5x10 3 (log5000=3) ,数量级为3。另外,一个未知数的数量级为其最接近的数量级,即最大可能的数量级。

求极限的技巧 
要利用好1/n。当n趋于无穷大时,1/n趋向于0
 

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一些规则(引自:时间复杂度计算 ) 
1) 加法规则 
T(n,m) = T1(n) + T2(n) = O (max ( f(n), g(m) )

2) 乘法规则
 
T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O (f(n) * g(m))

3) 一个特例(问题规模为常量的时间复杂度) 
在大O表示法里面有一个特例,如果T1(n) = O(c), c是一个与n无关的任意常数,T2(n) = O ( f(n) ) 则有
T(n) = T1(n) * T2(n) = O ( c*f(n) ) = O( f(n) )

也就是说,在大O表示法中,任何非0正常数都属于同一数量级,记为O(1)。

4) 一个经验规则 
复杂度与时间效率的关系:
c < log2n < n < n*log2n < n2 < n3 < 2n < 3n < n! (c是一个常量)
|--------------------------|--------------------------|-------------|
          较好                     一般              较差
其中c是一个常量,如果一个算法的复杂度为c 、 log2n 、n 、 n*log2n,那么这个算法时间效率比较高 ,如果是 2n , 3n ,n!,那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了,居于中间的几个则差强人意。


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复杂情况的分析 

以上都是对于单个嵌套循环的情况进行分析,但实际上还可能有其他的情况,下面将例举说明。

1.并列循环的复杂度分析 
将各个嵌套循环的时间复杂度相加。

例如:

  for (i=1; i<=n; i++)
      x++;

  for (i=1; i<=n; i++)
      for (j=1; j<=n; j++)
          x++;

解:
第一个for循环
T(n) = n
f(n) = n
时间复杂度为Ο(n)

第二个for循环
T(n) = n2
f(n) = n2
时间复杂度为Ο(n2)

整个算法的时间复杂度为Ο(n+n2) = Ο(n2)。

2.函数调用的复杂度分析 
例如:
public void printsum(int count){
    int sum = 1;
    for(int i= 0; i<n; i++){
       sum += i;
    }   
    System.out.print(sum);
}

分析:
记住,只有可运行的语句才会增加时间复杂度,因此,上面方法里的内容除了循环之外,其余的可运行语句的复杂度都是O(1)。
所以printsum的时间复杂度 = for的O(n)+O(1) = 忽略常量 = O(n)

*这里其实可以运用公式 num = n*(n+1)/2,对算法进行优化,改为:
public void printsum(int count){
    int sum = 1;
    sum = count * (count+1)/2;   
    System.out.print(sum);
}
这样算法的时间复杂度将由原来的O(n)降为O(1),大大地提高了算法的性能。
 

3.混合情况(多个方法调用与循环)的复杂度分析 
例如:
public void suixiangMethod(int n){
    printsum(n);//1.1
    for(int i= 0; i<n; i++){
       printsum(n); //1.2
    }
    for(int i= 0; i<n; i++){
       for(int k=0; k
        System.out.print(i,k); //1.3
      }
  }
suixiangMethod 方法的时间复杂度需要计算方法体的各个成员的复杂度。
也就是1.1+1.2+1.3 = O(1)+O(n)+O(n2) ----> 忽略常数 和 非主要项 == O(n2)

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更多的例子 

O(1) 
交换i和j的内容
temp=i;
i=j;
j=temp;                    

以上三条单个语句的频度为1,该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶,记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长,即使算法中有上千条语句,其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

O(n2) 
    sum=0;                /* 执行次数1 */
    for(i=1;i<=n;i++)      
       for(j=1;j<=n;j++) 
         sum++;       /* 执行次数n2 */
解:T(n) = 1 + n2 = O(n2)

   for (i=1;i<n;i++)
   { 
       y=y+1;        ①   
       for (j=0;j<=(2*n);j++)    
          x++;        ②      
   }         
解:  语句1的频度是n-1
         语句2的频度是(n-1)*(2n+1) = 2n2-n-1
         T(n) = 2n2-n-1+(n-1) = 2n2-2
         f(n) = n2
         lim(T(n)/f(n)) = 2 + 2*(1/n2) = 2
         T(n) = O(n2).

O(n)                                         
   a=0;
   b=1;                     ①
   for (i=1;i<=n;i++) ②
   {  
      s=a+b;    ③
      b=a;     ④  
      a=s;     ⑤
   }
解:  语句1的频度:2,        
         语句2的频度:n,        
         语句3的频度:n,        
         语句4的频度:n,    
         语句5的频度:n,                                  
         T(n) = 2+4n
         f(n) = n
         lim(T(n)/f(n)) = 2*(1/n) + 4 = 4
         T(n) = O(n).     
                                                                            
O(log2n) 
   i=1;       ①
   while (i<=n)
      i=i*2; ②
解: 语句1的频度是1,  
       设语句2的频度是t,  则:nt<=n;  t<=log2n
       考虑最坏情况,取最大值t=log2n,
        T(n) = 1 + log2n
        f(n) = log2n
        lim(T(n)/f(n)) = 1/log2n + 1 = 1
        T(n) = O(log2n)

 O(n3) 
   for(i=0;i<n;i++)
   {  
      for(j=0;j<i;j++)  
      {
         for(k=0;k<j;k++)
            x=x+2;  
      }
   }
解:当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 ,  所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/2次
T(n) = n(n+1)(n-1)/2 = (n3-n)/2
f(n) = n3
所以时间复杂度为O(n3)。

<think>好的,我现在需要给用户介绍计算时间复杂度的方法。首先,我应该回忆一下自己学过的相关知识,确保没有遗漏重要的点。时间复杂度算法分析中非常重要的概念,用来衡量算法运行时间随输入规模增长的变化趋势。用户可能刚接触这个概念,所以需要从基础讲起,逐步深入。 首先,我得考虑用户可能的背景。他们可能对算法数据结构有一定了解,但需要系统化的方法来确定时间复杂度。常见的计算时间复杂度的方法包括大O表示法、循环次数分析、递归方程求解等。我应该分步骤解释这些方法,并给出例子帮助理解。 接下来,我需要明确时间复杂度的基本概念。时间复杂度通常用大O符号表示,描述最坏情况下算法执行时间的上限。要计算时间复杂度,通常需要分析算法中的基本操作执行次数,忽略低阶项和常数系数,保留最高阶的项。 然后,我应该想到常见的几种情况,比如顺序结构、循环结构、嵌套循环、递归等。对于循环结构,需要确定循环的次数,尤其是当循环变量变化输入规模相关时。例如,一个简单的for循环从1到n,时间复杂度是O(n)。如果是双重循环,可能是O(n&sup2;)。 对于递归算法,可能需要使用递归树或者主定理(Master Theorem)来分析。主定理适用于分治算法,如快速排序、归并排序等。这时候需要确定递归的层数和每层的工作量。比如,归并排序的时间复杂度是O(n log n),因为每次递归将问题分成两半,合并需要线性时间。 另外,还有平均时间复杂度和最坏情况时间复杂度的区别,用户可能需要了解这些概念的不同应用场景。例如,快速排序的最坏时间复杂度是O(n&sup2;),但平均是O(n log n)。 可能需要注意的误区包括忽略循环的条件变化,比如循环变量不是简单的递增,而是以倍数增长(如i *= 2),这样的循环次数是O(log n)。此外,有些操作可能看似是常数时间,但实际上依赖于输入规模,需要特别注意。 还需要提到常见的时间复杂度等级,比如常数时间O(1),线性O(n),对数O(log n),线性对数O(n log n),平方O(n&sup2;),立方O(n³),指数O(2ⁿ)等,并举例说明对应的算法,比如二分查找是O(log n),冒泡排序是O(n&sup2;)。 最后,应该总结计算步骤:找出基本操作、计算执行次数、用大O表示法简化。同时提醒用户在实际分析中需要结合具体情况,有时可能需要数学推导,如求和公式或递推关系式。 在组织内容时,要确保逻辑清晰,分点讲解,配合示例,让用户能够逐步理解和应用这些方法。可能需要检查是否有遗漏的方法或常见错误,确保信息的准确性和全面性。</think>计算时间复杂度主要通过分析算法中基本操作的执行次数来确定,核心方法是找出随输入规模(n)增长时的最高阶项。以下是系统化的分析方法: 1. **基本操作定位法** - 识别算法中最耗时的基本操作(如循环内的核心计算) - 例:冒泡排序的核心操作是比较和交换,执行次数为n(n-1)/2 → O(n&sup2;) 2. **循环结构分析法** - 单层循环:执行次数循环变量变化方式相关 ```python for i in range(n): # 线性增长 → O(n) for i in range(1, n, i*=2): # 对数增长 → O(log n) ``` - 嵌套循环:执行次数相乘 ```python for i in range(n): # 外层n次 for j in range(n): # 内层n次 → 总体O(n&sup2;) ``` 3. **递归方程法**(需掌握三种情形) 使用主定理(Master Theorem)解递推式 T(n) = aT(n/b) + f(n) - 例:归并排序 T(n)=2T(n/2)+O(n) → O(n log n) 4. **渐进分析法**(大O表示法三原则) - 保留最高阶项:5n³ + 2n&sup2; + 3 → O(n³) - 忽略系数:3n&sup2; → O(n&sup2;) - 复合运算取最大值:O(n&sup2;) + O(n) = O(n&sup2;) 5. **常见复杂度速查表** | 复杂度 | 典型场景 | 示例算法 | |------------|----------------------------|---------------------| | O(1) | 直接存取 | 数组随机访问 | | O(log n) | 分治折半 | 二分查找 | | O(n) | 线性遍历 | 数组求和 | | O(n log n) | 分治+线性处理 | 归并排序、快速排序 | | O(n&sup2;) | 双重循环 | 冒泡排序 | | O(2ⁿ) | 穷举组合 | 汉诺塔问题 | **实战步骤**: 1. 建立执行次数数学模型(如Σ求和式) 2. 化简表达式找出主导项 3. 用大O符号表示结果 例:分析下列代码时间复杂度 ```python def func(n): sum = 0 for i in range(n): # O(n) for j in range(i, n): # 执行次数为n + (n-1) + ... +1 = n(n+1)/2 sum += 1 return sum ``` 总执行次数 T(n) = n(n+1)/2 → 取最高阶项 → O(n&sup2;)
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