UVa 11979 Hamming Base

题目描述

给定 $N$ 个 $N$ 进制整数，每个整数恰好有 $M$ 位（可能有前导零）。 如果两个整数在恰好 $K$ 个位置上具有相同的数字，则称它们为 $K$ -相似的。 例如：

• $321$ 和 $213$ 是 $0$-相似的。
• $3456$ 和 $6453$ 是 $2$-相似的。
• $123$ 和 $453$ 是 $1$-相似的。

你需要改变这些给定的 $N$ 个整数，使得每一对整数都是 0-相似的。 为达成目标，你可以分多步进行改变。 在一步中，你可以将一个整数的某一个数字加 $1$ 或减 $1$（即递增或递减）。 但是不能将 0 递减，也不能将数字 $N-1$ 递增。

你需要用最少的步数达成目标。

输入格式

输入以一个整数 $T$ （ $\le 50$ ）开始，表示测试用例的数量。 每个测试用例以一行包含两个整数 $N$ （ $2\le N\le 2000$ ）和 $M$ （ $1\le M\le 10$ ）开始。 接下来的 $N$ 行，每行包含 $M$ 个在 $0$ 到 $N-1$ 之间的整数，表示一个 $N$ 进制下的 $M$ 位数。

输出格式

对于每个测试用例，输出用例编号和达成目标所需的最少步数。

题目分析

目标状态分析

题目要求最终所有整数对都是 $0-$ 相似的，这意味着任意两个整数在 所有 位置上数字都不相同。 我们考虑其中一个位置 $j$ （ $1\le j\le M$ ），该位置上有 $N$ 个数字（因为有 $N$ 个整数）。 要使它们两两不同，并且每个数字的取值范围是 $0$ 到 $N-1$ ，那么该位置上 $N$ 个数字必须恰好是 $0,1,\dots ,N-1$ 的一个排列。 换句话说，对于每个位置，最终状态必须是 $0$ 到 $N-1$ 每个数字恰好出现一次。

操作分析

允许的操作是：将一个数字加 $1$ 或减 $1$，但不能越界（$0$ 不能减， $N-1$ 不能加）。 因此将一个数字从 $a$ 改为 $b$ 的最小步数是 $|a-b|$ ，因为每次只能改变 $1$，且方向不受限制（只要不越界），所以可以直接直线移动。

问题分解

原问题可以分解为 $M$ 个独立的子问题，每个子问题对应一个位置：
给定 $N$ 个数字（可能重复），要将它们改为 $0,1,\dots ,N-1$ 的一个排列，使得总修改步数最小。

对于每个位置，我们需要：

1. 将当前 $N$ 个数字与目标 $N$ 个数字（即 $0,1,\dots ,N-1$ ）进行配对。
2. 使得配对后的总绝对差之和最小。

这实际上是一个指派问题（$\text{Assignment Problem}$），但 $N$ 最多可达 $2000$ ， $M$ 最多为 $10$ ，如果直接使用 $O(N^3)$ 的匈牙利算法会超时。 因此需要寻找更优的方法。

最优匹配策略

注意到目标数字是固定的、有序的序列 $0,1,\dots ,N-1$ 。 对于一维欧几里得距离（即绝对差），一个经典结论是：将当前数字排序后，按顺序匹配到有序的目标数字上，可以得到最小总距离。

证明简述：
设当前数字为 $a_1\le a_2\le \cdots \le a_N$ ，目标数字为 $b_1\le b_2\le \cdots \le b_N$ 。 我们需要找到一个排列 $\sigma$ 使得 ${\sum }_{i=1}^N|a_i-b_{\sigma (i)}|$ 最小。 根据排序不等式，对于绝对值距离，顺序和（即 $a_i$ 与 $b_i$ 配对）是最小的。 这是因为任意交换两个配对都会导致总距离增加或不变。

因此，对于每个位置：

1. 读取该位置上的 $N$ 个数字，存入数组。
2. 对该数组排序。
3. 计算总代价： ${\sum }_{i=0}^{N-1}|\text{sorted}[i]-i|$ ，其中 $i$ 是目标数字。

算法步骤

1. 读入 $T$ 个测试用例。
2. 对于每个测试用例：
   • 读入 $N$ 和 $M$ ，然后读入 $N\times M$ 的数字矩阵。
   • 初始化总步数 totalSteps = 0 。
   • 对于每个位置 $j$ （ $0\le j<M$ ）：
     • 提取该位置上所有 $N$ 个数字，存入数组 currentDigits 。
     • 对 currentDigits 排序。
     • 遍历排序后的数组，计算 ${\sum }_{i=0}^{N-1}|\text{currentDigits}[i]-i|$ ，累加到 totalSteps 。
   • 输出 totalSteps 。

复杂度分析

• 对于每个位置，排序需要 $O(N\log N)$ ，计算代价需要 $O(N)$ 。
• 总共有 $M$ 个位置，因此每个测试用例的时间复杂度为 $O(M\cdot N\log N)$ 。
• 在 $N\le 2000$ ， $M\le 10$ 的条件下，完全可以在时限内完成。

代码实现

// Hamming Base
// UVa ID: 11979
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-12-05
// UVa Run Time: 0.020s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int testCases;
    cin >> testCases;
    for (int caseNo = 1; caseNo <= testCases; caseNo++) {
        int n, m;
        cin >> n >> m;
        vector<vector<int>> digits(n, vector<int>(m));
        for (int i = 0; i < n; i++)
            for (int j = 0; j < m; j++)
                cin >> digits[i][j];
        long long totalSteps = 0;
        // 对每个位置独立处理
        for (int pos = 0; pos < m; pos++) {
            vector<int> currentDigits(n);
            for (int i = 0; i < n; i++)
                currentDigits[i] = digits[i][pos];
            sort(currentDigits.begin(), currentDigits.end());
            // 排序后一一匹配到 0,1,...,n-1
            for (int i = 0; i < n; i++)
                totalSteps += abs(currentDigits[i] - i);
        }
        cout << "Case " << caseNo << ": " << totalSteps << endl;
    }
    return 0;
}