统计学之大数定律、小数法则

本文介绍了统计学中的大数定律和小数法则。大数定律表明,随着试验次数增加,随机事件的频率趋近其概率。然而小数法则揭示了人们常将大样本规律误用于小样本,导致过度推断。通过硬币投掷和医院新生儿比例等实例,阐述了这两个定律的实际意义和常见误解。

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大数定律(Law of Large numbers:在试验不变的条件下,重复试验多次,随机事件的频率近似于它的概率。随着样本的增大,随机变量对平均数的偏离是下降的。

如:抛掷一枚硬币,正面和反面的概率均为50%,但当抛掷硬币无限次,硬币为正面的频率将逐渐近似于它的概率50%。

赌场、“诈骗”、保险等都是大数定律的例子。

大数定律反映了一个自然规律:在一个包含众多个体的大群体中,由于偶然性而产生的个体差异,但看个体,每一个个体都是毫无规律、难以预测的,但由于大数定律,整个群体能呈现出稳定的形态。

但要注意的是,大数定律仅在样本数量足够多的情况下才成立。

 

小数法则(Law of small numbers):是指人们倾向于把大样本前提下的大数定律应用到小样本上,然而那并不成立。人们的错误认为小样本和大样本的经验均值具有相同的概率分布,导致对短序列的独立观察值做了过度推论。这是一种常见的心理误区,也是对赌徒谬论的总结。

例子:

1.人们知道抛掷硬币的概率是正反面各50%,于是在连续指出5个正面后,人们就倾向于判断下一次出现反面的几率较大。

  但其实,每一次试验都是独立的,当样本较小的时候,试验间的数据波动性强是正常的,10个硬币出现9个正面向上是正常的。

 

2.有两间医院,一间为大医院,一间为小医院,平时新生婴儿占比都为50%。某天医院的新生婴儿中男婴占比为70%,请问更有可能是哪家医院?

 

 

答案:小医院,根据大数定律,样本多的情况下,随机变量对均值的偏离会下降,也就是说样本越大,男婴占比应该更接近50%,小医院相较于大医院的婴儿出生数会较少,小数波动性更大,更有可能是小医院。

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