向量点积,叉积,向量点乘和余弦的关系推导

最新推荐文章于 2025-05-07 20:56:26 发布
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分类专栏： DirectX Unity3D
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//点积,如果 v1,v2 是单位向量,返回是u,v夹角的余弦
//返回值 
//== 0,表示v1,v2垂直
//> 0 ,两个向量之间的夹角大于90度
//<0,两个向量之间的夹角小于90度
//D3DXVec3Dot
float VecDotProduct(Vector3d v1,Vector3d v2)
{
	return v1.x*v2.x+v1.y*v2.y+v1.z*v2.z;
}

//叉积,返回一个新的向量,垂直v1,v2的新的向量
//计算原理
void VecCrossProduct(Vector3d v1,Vector3d v2,Vector3d& out)
{
	out.x=(v1.y * v2.z)-(v1.z * v2.y);
	out.y=(v1.z * v2.x)-(v1.x * v2.z);
	out.z=(v1.x * v2.y)-(v1.y * v2.x);
}
//如图:




通过余弦定理从点积的定义推出点积的公式
chenbingchenbing的专栏
10-01 2588
通过余弦定理从点积的定义推出点积的公式 首先证明余弦定理: 有边为a,b,c,对应夹角为a_angle,b_angle,c_angle 分别从定点向对应边作对角线可以发现如下关系成立: (1) a=b*cos c_angle +  c * cos b_angle (2
java 向量 内积_向量内积（点乘）和外积（叉乘）概念及几何意义
weixin_31546795的博客
02-13 985
定义概括地说，向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，如下所示，对于向量a和向量b： a和b的点积公式为：这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意：点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)定义：两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b)，特别地，0·a =a·0 = 0；若a，b是非零向量，则a与b****正交的...
今天竟然忘记了余弦公式和点积公式的互相推导关系了。
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12-18 504
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Fortran对矢量的运算总结
最新发布
m0_58065817的博客
05-07 278
magnitude = norm2(a) 是高版本的内置函数。只在三维上，更高维等我再研究研究。把c=a+b,改成c=a-b。
点积 与 余弦定理
拾贝壳
03-04 2510
点乘、点积，也叫数量积， 几何表示为： a⋅b=∣a∣∣b∣cosθa \cdot b = |a||b|cos\thetaa⋅b=∣a∣∣b∣cosθ 向量表示为： a⋅b=∑aibi=a1b1+a2b2a \cdot b=\sum{a_ib_i}=a_1b_1+a_2b_2a⋅b=∑ai​bi​=a1​b1​+a2​b2​ 于是有 ∣a∣∣b∣cosθ=a1b1+a2b2=>cosθ=a1...
向量点积公式证明
qq_36561680的博客
06-01 456
向量点积公式证明
向量数量积公式_向量点积公式证明
weixin_39628551的博客
12-24 1492
有些东西，看上去比较熟，用起来没什么问题，但细想起来却一脸茫然，这种感觉非常不爽。向量的点乘公式就是这样。就这么一个简简单单的公式：$$\vec{a}\cdot{\vec{b}}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$要是没记错的话，初中学的东西，一直在用，可总是想不起来是怎么来的。这里给出一个形象化的解释，省的后面再次遇到仍然不爽。物理中有一个基本的公式，这里就称为做功公式...
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向量的内积(点乘)定义概括地说，向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，如下所示，对于向量a和向量b： a和b的点积公式为：这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意：点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)定义：两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b)，特别地，0·a =a·0 = 0；若a，b是非零向量，则a...
机器学习中向量的点积和叉乘含义梳理
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定义 概括地说，向量的内积（点乘/数量积）。对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，如下所示，对于向量a和向量b： a和b的点积公式为： 这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意：点乘的结果是一个标量(数量而不是向量) 定义：两个向量a与b的内积为a·b= |a||b|cos∠(a, b)，特别地，0·a=a·0= 0；若a，b是非零向量，则a与b****正交的充要条件是a·b= 0。 向量内积的性质： a^2 ≥ 0；当a^2 = ...
向量的点乘和叉乘
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向量的内积（点乘） 定义 概括地说，向量的内积（点乘/数量积）。对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，如下所示，对于向量a和向量b：   a和b的点积公式为： 这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意：点乘的结果是一个标量(数量而不是向量) 定义：两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b)，特别地，0·a =a·0 = ...
向量点乘（内积）和叉乘（外积、向量积）概念及几何意义解读
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向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组；向量的点乘,也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。点乘公式对于向量a和向量b：                                                           a和b的点积公式为：要求一维向量a和向量b的行...
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余弦距离，也称为余弦相似度，是用向量空间中两个向量之间的夹角余弦值作为衡量两个个体之间的差异大小的度量。 余弦值越接近于1， 夹角之间的度数越接近0度，也就是两个向量越相似，这就叫做“余弦相似度”。 举例说明： 通过上图，我们能看出，将两张人脸图片通过卷积神经网路，可以分别得到向量a和向量b 在空间中，向量a和向量b有以下几种情况： 第一种情况： 向量a和向量b的夹角很小，说明向量a和向量b有很高的相似性。 第二种情况： 向量a和向量b是相等的，可以表示向量a所表示的人脸图片和向量b所表示的.
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### 三维空间中向量的点积和叉积 #### 点积 点积有两种定义方式：代数方式和几何方式。通过在欧氏空间中引入笛卡尔坐标系，向量之间的点积既可以由向量坐标的代数运算得出，也可以通过引入两个向量的长度和角度等几何概念来求解[^4]。 对于两个向量 \(\vec{a} = a_x\hat{i} + a_y\hat{j} + a_z\hat{k}\) 和 \(\vec{b} = b_x\hat{i} + b_y\hat{j} + b_z\hat{k}\)，其点积可以通过以下两种方式进行计算： - **代数形式**: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z \] - **几何形式**: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta} \] 其中 \(|\vec{a}|\) 表示向量 \(\vec{a}\) 的模长，\(θ\) 是两向量间的夹角。 #### 叉积 叉积的结果是一个新的向量，该新向量垂直于原来的两个输入向量所构成的平面，并遵循右手定则方向。如果给定了两个不共线的非零向量 \(\vec{v}\) 和 \(\vec{w}\)，那么它们的叉积可表示为一个新的向量 \(\vec{n}\): \[ \vec{n} = \vec{v} \times \vec{w} \] 此操作不仅限于简单的乘法；实际上它涉及到行列式的计算过程。具体来说， ```python import numpy as np def cross_product(v, w): v_matrix = np.array([[v[0], v[1], v[2]]]) w_matrix = np.array([[w[0], w[1], w[2]]]) result_vector = np.cross(v_matrix.T.flatten(), w_matrix.T.flatten()) return result_vector.tolist() ``` 当考虑标准基底下的分量时，即有： \[ \vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ v_x & v_y & v_z\\ w_x & w_y & w_z \end{vmatrix} \] 这里的矩阵并非传统意义上的行列式，而是用于帮助理解和记忆的一种工具[^3]。最终得到的新向量的方向取决于原始两个向量的位置关系以及所在的空间定向（右手法则），而大小等于这两个向量组成的平行四边形面积[^1]。
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