LintCode79:Longest Common Substring

本文深入探讨了寻找两个字符串中最长公共子串的问题,详细解释了动态规划方法的应用,对比了最长公共子序列的区别,并提供了具体实现代码。

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Given two strings, find the longest common substring.

Return the length of it.

Example

Given A = "ABCD", B = "CBCE", return 2.

Challenge

O(n x m) time and memory.

Notice

The characters in substring should occur continuously in original string. This is different with subsequence.


LintCode:链接

最长公共子序列:链接

参考链接:动态规划

该题问的是最长公共子串,最长公共子串比最长公共子序列的递推公式要简单一些。最长公共子串必须是连续的

dp[i][j]的含义也发生了变化:

1)在最长公共子序列中,dp[i][j]表示str_a[1:i]和str_b[1:j]的最长公共子序列,是从str_a的1和str_b的1开始计算的,即整个字符串的起始位置。

2)在最长公共子串中,dp[i][j]表示str_a[i':i]和str_b[j':j]的最长公共子串,因为str_a和str_b可能存在多个公共子串,所以i'和j'分别表示当前公共子串的起始位置。

也就是说:

  • 当str_a[i] == str_b[j]时,dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+ 1;

  • 当str_a[i] != str_b[j]时,dp[i][j] = 0,即开始计算新的公共子串。

和最长公共子序列不同的是,在最长公共子串问题中,dp[m][n]不一定是最终结果,比如“abcdxy”和“abcfxy”,dp[m][n]存储的是公共子串“xy”的长度,而不是公共子串“abc”的长度,所以需要一个变量单独记录最长子串的长度

该时间复杂度是O(mn),空间复杂度是O(mn),空间复杂度可以进一步优化,见上方参考链接。

class Solution:
    """
    @param A: A string
    @param B: A string
    @return: the length of the longest common substring.
    """
    def longestCommonSubstring(self, A, B):
        # write your code here
        m, n = len(A), len(B)
        if m == 0 or n == 0:
            return 0
        dp = [[0] * (n+1) for i in range(m+1)]
        max_length = 0
        LCS = ""
        for i in range(1, m+1):
            for j in range(1, n+1):
                if A[i-1] == B[j-1]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
                    if dp[i][j] > max_length:
                        max_length = dp[i][j]
                        LCS = A[i-max_length:i]
                else:
                    dp[i][j] = 0
        print(LCS)
        return max_length

 

<think>好的,我现在需要详细解释最长公共子串(Longest Common Substring)的定义和实现方法。首先,得明确最长公共子串和最长公共子序列(Longest Common Subsequence)的区别,避免混淆。最长公共子串要求字符连续,而子序列不需要。比如,"abcde"和"abfce"的公共子串是"ab"或"ce",而最长公共子序列可能是"abce"。 接下来,用户需要了解具体的实现方法。根据提供的引用资料,动态规划是常用的方法。我需要先解释动态规划的基本思路,然后逐步构建解决方案。比如,动态规划表的结构,如何填充表格,以及如何通过表格回溯找到最长子串。 然后,具体步骤可能需要详细展开。例如,创建一个二维数组dp,其中dp[i][j]表示以字符串a的第i个字符和字符串b的第j个字符结尾的最长公共子串的长度。当a[i-1]等于b[j-1]时,dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1,否则为0。同时,记录最大值和结束位置,以便最后提取子串。 需要检查引用的不同语言的实现,确保算法的一致性。比如引用3和4中的Java和C++代码都使用了类似的动态规划方法,二维数组的处理方式也相似。此外,引用5中提到优化思路,即不需要存储整个二维数组,只需要前一行的数据即可,这样可以优化空间复杂度,但可能用户的问题暂时不需要深入优化,所以可能放在后面作为补充。 另外,用户可能需要时间复杂度分析。动态规划方法的时间复杂度是O(m*n),其中m和n是两个字符串的长度。空间复杂度如果使用二维数组的话也是O(m*n),但可以优化到O(n)或O(m)如果只保留一行或一列的数据。 最后,要生成相关问题,参考用户之前的例子,比如如何优化空间复杂度,不同实现方式的比较,或者应用场景等。这些问题应该与最长公共子串相关,并且能够帮助用户进一步学习。 需要注意用户提供的引用中有一些代码示例,比如JavaScript和Objective-C的实现,可能需要提及不同语言实现的差异,但用户主要问题可能更关注算法本身,所以重点放在算法步骤而不是具体代码。 总结回答结构:先定义,然后动态规划步骤,时间复杂度分析,代码示例(选择Python作为例子,因为用户提供的示例中有Python代码),最后应用场景和相关问题。</think>### 最长公共子串(Longest Common Substring)定义与实现 #### 定义 最长公共子串是指两个或多个字符串中**连续相同**的最长子序列。例如,字符串 $s_1 = \text{"abcde"}$ 和 $s_2 = \text{"abfce"}$ 的最长公共子串是 $\text{"ab"}$ 或 $\text{"ce"}$(长度均为2)。与最长公共子序列(LCS)不同,公共子串要求字符必须连续[^3][^5]。 --- #### 动态规划实现方法 ##### 核心思想 通过构建二维数组 $dp[i][j]$,记录以字符串 $a$ 的第 $i$ 个字符和字符串 $b$ 的第 $j$ 个字符结尾的最长公共子串长度。递推公式为: $$ dp[i][j] = \begin{cases} dp[i-1][j-1] + 1 & \text{if } a[i-1] = b[j-1] \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$ 同时,记录全局最大值 $max\_length$ 及其结束位置 $index$,以便提取子串[^3][^4][^5]。 ##### 步骤详解 1. **初始化二维数组**:第一行和第一列设为0,简化边界条件。 2. **填充数组**:遍历两字符串的每个字符,若字符相等,则当前值等于左上角值加1。 3. **更新最大值**:每次计算 $dp[i][j]$ 后,更新全局最大值和索引。 4. **提取结果**:根据记录的索引和长度,从原字符串中截取子串。 ##### 时间复杂度与空间复杂度 - **时间复杂度**:$O(m \times n)$($m,n$ 为字符串长度) - **空间复杂度**:$O(m \times n)$,可优化至 $O(\min(m,n))$[^5]。 --- #### Python实现示例 ```python def longest_common_substring(a, b): m, n = len(a), len(b) dp = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)] max_length = 0 end_index = 0 for i in range(1, m+1): for j in range(1, n+1): if a[i-1] == b[j-1]: dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 if dp[i][j] > max_length: max_length = dp[i][j] end_index = i else: dp[i][j] = 0 return a[end_index - max_length : end_index] if max_length > 0 else "" ``` --- #### 应用场景 1. **DNA序列比对**:寻找生物序列中的相似片段。 2. **文本相似度分析**:检测抄袭或重复内容。 3. **版本控制系统**:识别代码修改的公共部分[^1][^2][^4]。 ---
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