topK问题

一. 最大的K个数

1）快排。可以从小到大排列，找到索引值是(length-k)的数，后边的数就都是最大的K个数。也可以从大到小排列，找到索引值是k-1的数，前面的数就都是最大的K个数。如果数组长度小，可以用快排的方法。

2）基于partition思想。正常的快排是从小到大，当选定一个base的时候让左边的元素都比它小，右边的元素都比它大。但是现在因为是要求第K个最大的数，所以要反过来，从大到小排序，当选定一个base的时候让左边的元素都比它大，右边的元素都比它小。举个例子，数组[3,2,1,5,4,6]，假设每次选最左边的元素作为主元素，那么我们在一次排序后，数组变为[5,6,4,3,1,2]。现在3变成了第四大的元素。时间复杂度是O(N)。但是此时得到的数组是无序的，如果要求按顺序输出，还得要排序。

3）最小堆。建立一个最小堆，接下来用数组中的数去和堆顶比较。如果比堆顶小，则不处理；如果比堆顶大，则替换堆顶，然后依次下沉到适当的位置。时间复杂度是O(NlogK)(一般说这个时间复杂度就行)，还有建堆时间是O(K)，所以总的时间复杂度是O(k) + O((n-k) * logk)。空间复杂度是O(K)。经过遍历之后，此时得到的最小堆是无序的，如果要求按顺序输出，还得要排序！！只调整不经过堆排序得到的堆都是无序的！！

二. 第K个最大的数

LeetCode215：Kth Largest Element in an Array

1）快排。可以从小到大排列，找到索引值是(length-k)的数。也可以从大到小排列，找到索引值是k-1的数。如果数组长度小，可以用快排的方法。

2）基于partition思想。正常的快排是从小到大，当选定一个base的时候让左边的元素都比它小，右边的元素都比它大。但是现在因为是要求第K个最大的数，所以要反过来，从大到小排序，当选定一个base的时候让左边的元素都比它大，右边的元素都比它小。举个例子，数组[3,2,1,5,4,6]，假设每次选最左边的元素作为主元素，那么我们在一次排序后，数组变为[5,6,4,3,1,2]。现在3变成了第四大的元素。时间复杂度是O(N)。找到第一个index之后，判断和k-1的关系，如果比k-1大，就在index-1左边找，否则就在index+1右边找。

3）最小堆。建立一个最小堆，接下来用数组中的数去和堆顶比较。如果比堆顶小，则不处理；如果比堆顶大，则替换堆顶，然后依次下沉到适当的位置。时间复杂度是O(NlogK)(一般说这个时间复杂度就行)，还有建堆时间是O(K)，所以总的时间复杂度是O(k) + O((n-k) * logk)。空间复杂度是O(K)。因为题目要求的是找到第K大的数，所以直接输出最小堆的堆顶即可。只调整不经过堆排序得到的堆都是无序的！！

4）最大堆。该方法是用全部的数组构建一个最大堆，此时的堆顶元素是第一大的。然后将堆顶元素和尾元素交换，将尾元素pop出去。接下来进行堆调整，此时的堆顶元素就是第二大的元素。直到一共进行k-1次的pop操作，此时的堆顶元素就是第K大的元素。所以时间复杂度是O(n + klog(n))，空间复杂度是O(n)。

三. 最小的K个数

剑指Offer_编程题29：最小的K个数

1）快排。从小到大排列，找到索引值是k-1的数，之前的数都是最小的。如果数组长度小，可以用快排的方法。

2）基于partition思想。从小到大，当选定一个base的时候让左边的元素都比它小，右边的元素都比它大。时间复杂度是O(N)。找到第一个index之后，判断和k-1的关系，如果比k-1大，就在index-1左边找，否则就在index+1右边找。然后再排序。

3）最大堆。建立一个最大堆，接下来用数组中的数去和堆顶比较。如果比堆顶大，则不处理；如果比堆顶小，则替换堆顶，然后依次下沉到适当的位置。时间复杂度是O(NlogK)(一般说这个时间复杂度就行)，还有建堆时间是O(K)，所以总的时间复杂度是O(k) + O((n-k) * logk)。空间复杂度是O(K)。经过遍历之后，此时得到的最大堆是无序的，如果要求按顺序输出，还得要排序！！只调整不经过堆排序得到的堆都是无序的！！

四. 第K个最小的数

1）快排。从小到大排列，找到索引值是k-1的数。如果数组长度小，可以用快排的方法。

2）基于partition思想。从小到大，当选定一个base的时候让左边的元素都比它小，右边的元素都比它大。时间复杂度是O(N)。找到第一个index之后，判断和k-1的关系，如果比k-1大，就在index-1左边找，否则就在index+1右边找。

3）最大堆。建立一个最大堆，接下来用数组中的数去和堆顶比较。如果比堆顶大，则不处理；如果比堆顶小，则替换堆顶，然后依次下沉到适当的位置。时间复杂度是O(NlogK)(一般说这个时间复杂度就行)，还有建堆时间是O(K)，所以总的时间复杂度是O(k) + O((n-k) * logk)。空间复杂度是O(K)。因为题目要求的是找到第K小的数，所以直接输出最大堆的堆顶即可。