方程求根之二分法

巴涅波赫夫

于 2022-07-01 17:33:48 发布

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分类专栏：数值分析文章标签：矩阵

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本文介绍了二分法的基本思想及其应用，详细解释了通过不断缩小区间来逼近方程根的过程，并提供了具体的实例和代码实现。

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二分法

二分法也称对分区间法、对分法等，是最简单的求根方法，属于区间法求根类型。

1 基本思想

利用连续函数零点定理，将含根区间逐次减半缩小构造点列来逼近根。

2 构造原理

设连续函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 只有一个根，满足 $f (a) f (b) < 0$ 。

记 $I_0= [a,b]$ ，取区间中点 $x_0=0.5(a+b)$
判别 $f(x_0)$ 的值
1. 若 $f(x_0)=0$ ，则 $x^*=x_0$ ，停止
2. 若 $f(xₒ)⋅f(a)<0f(xₒ)\cdot f(a)<0$ , 记 $I_1=[a,x_0]$ ；否则，记 $I_1=[x_0,b]$
记 $I_1=[a_1,b_1]$ ，再取 $x_1=0.5(a_1+b_1)$
若 $x_1$ 满足根精度要求，则 $x∗≈x1x^*\approx x_1$ ，停止；否则， $I_1$ 代替 $I_0$ 。转到第1步

3 分析

3.1 求根数列

记第 $k$ 次二分得到的含根区间为 $I_k=[a_k,b_k]$ ，则二分法对应的求根数列算式为
$x_k=0.5(a_k+b_k)$

3.2 收敛性

由于
$x^*\in I_k,k=0,1,\cdots \Rightarrow I_0\supset I_1\supset I_2\cdots$
因此
$|x^*-x_k|\le\frac12(b_k-a_k)=\frac{1}{2^2}(b_{k-1}-a_{k-1})=\cdots =\frac{1}{2^{k+1}}(b-a)$
故
$\frac{1}{2^{k+1}}(b-a)\to 0\Rightarrow x_k\to x^*$

3.3 计算次数控制

由于
$|x^*-x_k|\le \frac{1}{2^{k+1}}(b-a)$
对给定的计算精度 $ϵ>0\epsilon\gt 0$ ，要成立 $∣x∗−xk∣<ϵ|x^*-x_k|\lt\epsilon$ ，让
$\frac{1}{2^{k+1}}(b-a)\le \epsilon\Rightarrow k\gt\frac{\ln(b-a)-\ln\epsilon}{\ln2}-1$
即满足精度要求的二分次数为 $k>ln⁡(b−a)−ln⁡ϵln⁡2−1k\gt\frac{\ln(b-a)-\ln\epsilon}{\ln2}-1$

又由于
$|b_k-a_k|=2|x_k-x_{k-1}|\Rightarrow |x^*-x_k|\le|x_k-x_{k-1}|$
于是，满足精度的根可取使 $∣xk−xk−1∣≤ϵ|x_k-x_{k-1}|\le\epsilon$ 成立的 $x_k$ 。

3.4 二分法的误差估计

事先估计：
$k\gt\frac{\ln(b-a)-\ln\epsilon}{\ln2}-1$
事后估计：
$|x^*-x_k|\le|x_k-x_{k-1}|$

事先估计的 $k$ 往往偏大，主要用于理论估计。
事后估计的 $k$ 往往较小，主要用于实际控制。

4 例题及代码

用二分法求方程 $2x^3-5x-1=0$ 在区间 $[1, 2]$ 内的根，绝对误差 $ϵ≤10−2\epsilon\le10^{-2}$ 。

% 二分法求方程在[a,b]区间、误差小于等于epsilon下的近似根
function result = dichotomy(epsilon,a,b)
f=@(x)2*x^3-5*x-1;
m=(a+b)/2;
while ~(abs(a-b)<epsilon || f(m)==0)
    m = (a+b)/2;
    if f(a)*f(m) < 0
        b = m;
    else
        a = m;
    end
end
result = (a+b)/2;
fprintf("近似解为：%.6f",result);
end