【裴礼文数学分析】例1.1.3

最新推荐文章于 2023-09-13 13:07:08 发布

原创最新推荐文章于 2023-09-13 13:07:08 发布 · 424 阅读

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这篇博客讨论了如何证明某个特定函数是奇函数。通过定义反函数，并利用反函数的性质，作者详细展示了推导过程，最终得出该函数为奇函数的结论。例子和简证清晰地阐述了奇函数的概念。

题面：

$f^{-1}(-x)是f(-x)$ 是 $f(-x)$ 的反函数，证明: $f(x)$ 是奇函数。

简证：

记 $g(x)=-x$

即有 $f(g(x))$ 的反函数为 $f^{-1}(g(x))$

而 $f(g(x))$ 反函数为 $g^{-1}(f^{-1}(x))$

故 $f^{-1}(g(x))=g^{-1}(f^{-1}(x))$

进而有 $f^{-1}(-x)=-f^{-1}(x)$

所以 $f^{-1}(x)$ 为奇函数

由例1.1.2的结果可知 $f(x)$ 是奇函数。

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