17、聚类算法：K-means与期望最大化（EM）算法详解

聚类算法：K-means与期望最大化（EM）算法详解

1. 聚类概述

聚类是指将数据对象集合进行分组，使得同一组内的数据对象彼此相似，而与其他组的数据对象不同。聚类算法是无监督学习的一个典型例子，在这种学习场景中，给定的训练集只有输入数据，没有目标标签。聚类的主要目标是通过将相似的点分组，在数据中发现结构。

聚类在实际应用中有很多用途，例如数据压缩。通过生成代表每个簇的中心点（质心），可以用较少的质心来替代原始数据集，从而实现数据的压缩。接下来将主要介绍两种聚类方法：K-means和基于高斯混合模型的期望最大化（EM）算法。

2. K-means聚类算法

2.1 算法原理

K-means算法的训练集由N个无目标标签的观测值 (X = (x_1, x_2, \cdots, x_k, \cdots, x_N)) 组成。其目标是将数据集划分为K个簇，这里暂时假设K的值是已知的。该算法使用欧几里得距离函数 (d_2(x, y) = |x - y| = \sqrt{\sum_{j = 1}^{D}(x_j - y_j)^2}) 来选择簇，使得同一簇内点之间的距离相对较小，而不同簇之间点的距离相对较大。

算法执行后，会得到K个质心 (c_1, c_2, \cdots, c_K) 和K个簇 (C_1, C_2, \cdots, C_K)。其中，簇 (C_k) 定义为比其他所有质心更接近质心 (c_k) 的点的集合，即 (C_k = {x|d_2(x, c_k) = \min_{j = 1, \cdots, K} d_2(x, c_j)})。质心 (c_k) 是属于 (C_k) 的所有点的平均值，即 (c_k = \frac{1