7、控制系统的开环平衡实现与降阶模型

控制系统的开环平衡实现与降阶模型

1. 开环平衡实现

1.1 连续时间系统的开环平衡实现

在某些情况下，系统的可控性和可观性矩阵（gramians）已经是对角矩阵，但如果它们不相等，系统就是不平衡的。可以通过平衡过程来获得开环平衡形式。

例如，给定系统，其可控性矩阵 (W_{c}^{2}) 已经是对角矩阵，可得到 (V_{c} = I)，进而计算 (T_{1} = I\Sigma_{c}=\sqrt{W_{c}^{2}})。

考虑系统 ((\tilde{A}, \tilde{B}, \tilde{C}))，在这个参考系统中，(\tilde{W} {c}^{2} = I)，而 (\tilde{W} {o}^{2}) 为另一个对角矩阵。通过计算 (T_{2} = V_{o}\Sigma_{o}^{-\frac{1}{2}})，最终得到变换矩阵 (T = T_{1}T_{2})。应用变换 (\bar{x} = T^{-1}x) 就可以得到平衡形式 ((\bar{A}, \bar{B}, \bar{C}))。

在一般情况下，当参数 (\alpha \neq 0) 时，可控性矩阵 (W_{c}^{2}) 和可观性矩阵 (W_{o}^{2}) 分别为：
[
W_{c}^{2} =
\begin{bmatrix}
\alpha^{2} & 0 \
0 & 0.5
\end{bmatrix};
W_{o}^{2} =
\begin{bmatrix}
\frac{1}{\alpha^{2}} & 0 \
0 & 0