6、开环平衡实现：原理、应用与MATLAB实践

开环平衡实现：原理、应用与MATLAB实践

1. 主成分分析基础

主成分分析是一种重要的数据分析方法，在许多领域都有广泛应用。我们先回顾其最重要的性质。考虑矩阵 $W \in R^{n×n}$，定义为：
$W = \int_{0}^{\infty} F(t)F(t)^T dt$
其中 $F : R \to R^{n×m}$ 是时间函数矩阵。这里隐含的假设是该积分存在。

对矩阵 $W$ 进行奇异值分解。由于 $W$ 是半正定矩阵，我们可以找到一组与非负特征值对应的正交向量，从而得到奇异值分解：
$W = V\Sigma V^T$
其中 $\Sigma$ 是对角矩阵，包含 $W$ 的奇异值（$\Sigma = diag{\sigma_1, \sigma_2, …, \sigma_n}$），$v_1, v_2, …, v_n$ 构成 $W$ 的正交向量集。因为这些向量是正交的，所以它们可以作为 $R^n$ 的正交基，使得 $F(t)$ 可以表示为 $n$ 个分量的和：
$F(t) = v_1f_1^T(t) + v_2f_2^T(t) + … + v_nf_n^T(t)$
其中 $f_1(t), f_2(t), …, f_n(t)$ 是包含 $m$ 个随时间变化元素的向量，$v_1, v_2, …, v_n$ 是包含 $n$ 个与时间无关的常量元素的向量。$f_1(t), f_2(t), …, f_n(t)$ 被称为 $F(t)$ 的主成分，由下式给出：
$f_i^T(t) = v_i^T F(t)$

主成分具有以下性质：
- $\int_{0}^{\infty} f_i^T(t)f_j(t)dt = 0$