leetcode 312 Burst Balloons

问题描述：

Given n balloons, indexed from 0 to n-1. Each balloon is painted with a number on it represented by array nums. You are asked to burst all the balloons. If the you burst balloon i you will get nums[left] * nums[i] * nums[right] coins. Here left and rightare adjacent indices of i. After the burst, the left and right then becomes adjacent.

Find the maximum coins you can collect by bursting the balloons wisely.

参考博文：https://www.cnblogs.com/grandyang/p/5006441.html

这道题目用暴力求解的话，时间复杂度太高了。

可以用动态规划，dp[i][j]表示开头为i，结尾为j的子数组的最大乘积和。

我们可以尝试找出这个小段里面最后爆破的那一个气球。这个气球要满足的条件是，最后爆破它可以使乘积和最大

max(dp[i][k-1]+dp[k+1][j]+nums[k]*nums[i-1]*nums[j+1])   i<=k<=j

注意：

1、当k=i时，第一项dp[i][i-1]=0;同理，当k=j时，第二项dp[j+!][j]=0

对于dp[i][j]来说，只有当i<=j时才有意义，即非0，所以这个矩阵应该是一个上三角矩阵。

2、第三项应该是nums[k]*nums[i-1]*nums[j+1]，因为k是i~j这个子段里剩下的最后一个气球了

3、观察这个动态转移矩阵发现，它需要已知更小长度的子段的最大乘积和，即dp值

所以我们计算dp矩阵的顺序应该是，依次计算长度为1，2，。。。n的子段的dp值

代码如下：

class Solution {
public:
    int maxCoins(vector<int>& nums) {
        nums.insert(nums.begin(),1);
        nums.push_back(1);
        int len=nums.size();
        vector<int> a(len,0);
        vector<vector<int>> dp(len,a);
        for(int i=0;i<len;i++)
            dp[i][i]=nums[i];
        for(int i=1;i<len-1;i++)
            for(int j=1;j<=len-2-i+1;j++)
            {
                int m=j+i-1;
                dp[j][m]=max(dp[j+1][m]+nums[j]*nums[j-1]*nums[m+1],dp[j][m-1]+nums[m]*nums[j-1]*nums[m+1]);
                for(int k=j+1;k<=m-1;++k)
                {
                    dp[j][m]=max(dp[j][m],dp[j][k-1]+nums[k]*nums[j-1]*nums[m+1]+dp[k+1][m]);
                }
                    
            }
        return dp[1][len-2];
    }
};