排序算法解析

排序算法可以分为外部和内部排序两大类。

当要排序的数据文件过大，大过内存空间时，需要将其分成若干个子文件分别进行内部排序，然后再进行多路归并排序。

我们通常讲的都是内部排序。

 

主要分为这几大类：

插入排序（直接插入排序和希尔排序）

选择排序（直接选择排序和堆排序）

交换排序（冒泡排序和快速排序）

归并排序

 

排序算法的几个指标：

时间复杂度，空间复杂度（最好情况：完全有序，最差情况：逆序，平均），稳定性

稳定性：相等的元素在排序之后是否能保持原本的前后顺序不变

其中，算法稳定的是直接插入排序，冒泡排序，基数排序和归并排序。

由于只有快速排序和归并排序是递归的，所以二者的空间复杂度不是o(1)

1、直接插入排序

每次将一个待排序的数据元素，插入到前面已经排好序的数列中的适当位置，使数列依然有序；直到待排序数据元素全部插入完为止。

缺点是，在插入的时候，要不断移动已经排序好的数组

最好情况：完全有序，每次比较完无需移动，时间复杂度o(n)

最差情况：完全逆序，需要移动的次数为，1，2，...,n-1次，所以时间复杂度o(n^2)

平均为o(n^2)

2、希尔排序

针对直接插入排序要不断移动已经排序好的数组，提出的。将一个长序列由增量分成若干个子序列，分别进行插入排序，这时的序列是一个部分有序的序列，再进行插入排序，就无需移动多次数组。

先取一个小于n的证书d1作为第一个增量，把文件的全部记录分成d1组。所有距离为d1的倍数的记录放在同一组中。先在各组内进行直接插入排序，然后取第二 个增量d2<d1重复上述的分组和排序，直到所取的增量dt=1，即所有记录放在同一组中进行直接插入排序为止。该方法实际上是一种分组插入方法。

希尔排序的增量序列会影响排序的性能。平均时间 O(nlogn) 最差时间O(n^s) 1<s<2

3、选择排序

每一趟从待排序的数据元素中选出最小（或最大）的一个元素，顺序放在已排好序的数列的最后（交换），直到全部待排序的数据元素排完。

比较时间固定：（n-1）+（n-2）+...+1     o(n^2)

交换时间不定：最好情况：完全有序，无需交换

                         最差情况：n-1次

因此，时间复杂度就是o(n^2)

因为每次外循环会把最小值和相应位置交换，因此是不稳定的。

比如：1，9，3，4，6，9，2，

在第二次循环时，最小值为2，要把它和第二个位置上的9进行交换，而这样就改变了两个9的前后顺序。

4、堆排序

它是使用了二叉树结构的选择排序。主要优化的是外循环每次选最大/小值这个问题。

二叉树有一个特点：

最大堆：子节点的值永远不能大于父节点的值

最小堆：子节点的值永远不能小于父节点的值

一般都用数组来表示堆，i结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下标分别为2 * i + 1和2 * i + 2。

首先，将未排序的数组初始化成一个堆；

然后不断输出并删除堆顶元素，将堆底元素补到堆顶，并进行元素调整，使被打乱的二叉树重新变成一个堆。

由于每次重新恢复堆的时间复杂度为O(logN)，共N - 1次重新恢复堆操作，再加上前面建立堆时N / 2次向下调整，每次调整时间复杂度也为O(logN)。二次操作时间相加还是O(N * logN)。故堆排序的时间复杂度为O(N * logN)。

5、冒泡排序

两两比较待排序数据元素的大小，发现两个数据元素的次序相反时即进行交换，直到没有反序的数据元素为止。

其实它和选择排序的思路有点像，每次外循环确定一个元素的位置，二者的区别在于：它是在内部循环进行交换元素，而选择排序是在外循环进行交换的，因此，二者的比较时间是一样的，差就差在了交换时间上。

所以可以看出，选择排序的效率要比冒泡高，尽管二者的时间复杂度一样，都为o(n^2)。

但是，冒泡排序有一些改进版的算法还是很不错的。

比如：当某一次外循环，没有出现任何的交换时，说明此时序列是完全有序的，可以提前终止。

6、快速排序

在 当前无序区R[1..H]中任取一个数据元素作为比较的"基准"(不妨记为X)，用此基准将当前无序区划分为左右两个较小的无序区：R[1..I-1]和 R[I+1..H]，且左边的无序子区中数据元素均小于等于基准元素，右边的无序子区中数据元素均大于等于基准元素，而基准X则位于最终排序的位置上，即 R[1..I-1]≤X.Key≤R[I+1..H](1≤I≤H)，当R[1..I-1]和R[I+1..H]均非空时，分别对它们进行上述的划分过 程，直至所有无序子区中的数据元素均已排序为止。

它其实就是一种分治的思想，最好的情况，肯定就是每次划分的比较均匀，o(nlogn)；最坏的情况就是将长度为n的序列划分成1和n-1的子序列，o(n^2)，此时，快速排序将退化为冒泡排序；平均的时间复杂度为o(nlogn)。

在所有平均时间复杂度为 O（nlogn）的算法中，快速排序的平均性能是最好的。

可见，基准元素的选择很重要，在普林斯顿那门算法课里，它的基准是随机选择的，这样可以使该算法性能较优。

常用基准关键字的选取方式如下：

（1）三者取中。三者取中是指在当前序列中，将其首、尾和中间位置上的记录进行比较，选择三者的中值作为基准关键字，在划分开始前交换序列中的第一个记录与基准关键字的位置。

（2）取随机数。取 left（左边）和 right（右边）之间的一个随机数 m（left⩽m⩽rightleft⩽m⩽right），用 n[m] 作为基准关键字。这种方法使得 n[ left ] 和 n[ right ] 之间的记录是随机分布的，采用此方法得到的快速排序一般称为随机的快速排序。

另外，由于采用了递归，需要借助辅助的内存空间。空间复杂度为o(logn)~o(n)。

具体编程的步骤：（因为要交换元素，所以算法不稳定）

1.首先选择一个中间元素（一般选左端或者右端）。
2.分别获取除中间元素外的左右两端的索引。
3.由左右两端逐渐向中间迭代，每迭代一步比较一下索引中的元素和中间元素，当左边出现比中间元素大的元素的时候，暂停左边的迭代，当右边迭代出比中间元素小的元素的时候，右边迭代也暂停，交换左右两边的元素。
4.重复步骤3，直到左右两边的索引相遇，然后将中间元素移动到中间，这时中间元素左边的元素都比它小，右边的元素都比它大。
5.将上面的中间元素左右两边当成两个数组，分别进行上述过程。
6.重复以上步骤直到数组不可再分。
（链接：https://www.jianshu.com/p/655db46e161d）

快速排序的改进：由于现实中重复相等的元素特别多，所以可以分成三部分：小于，大于，相等，进一步降低排序的工作量
 

7、归并排序

和快速排序不同的是，它是自底向上的分治法。

归并排序在分解时，只是单纯地将原问题分解为两个规模减半的子问题；在分解过程中，没有任何对原问题所含信息的利用，没有任何尝试对问题求解的动作；这种分解持续进行，直到子问题规模降足够小（为1），这时子问题直接得解；然后，自底向上地合并子问题的解，这时才真正利用原问题的特定信息，执行求解动作，对元素进行比较。

而快速排序与归并排序不同，它是自顶向下，对原问题进行单纯的对称分解；其求解动作在分解子问题开始前进行，而问题的分解基于原问题本身包含的信息；然后，自顶向下地递归求解每个子问题。

快速和归并排序，如果分组策略越简单，后面的合并策略就越复杂，因为快速排序在分组时，已经根据元素大小来分组了，而合并时，只需要把两个分组合并起来就行了，归并排序则需要对两个有序的数组根据大小合并。

归并算法没有最好和最坏情况之分，它每次都是均匀的二分法。

T（n）=2T(n/2)+o(n)，o(n)是对两个半长的子序列进行归并排序时所需要的时间复杂度。

T（n）=o(nlogn)

 

 

在给千万级别的数组排序的情况下：
Quick > Merge > Shell > Insertion > Selection