TAOCP V4.F2 格雷码(1)

  

TAOCP V4.F2 格雷码(1)

1、预备知识：关于异或

      第四卷的第一册是关于布尔代数的，不过还未出版。而作者在描述格雷码的时候，异或出现的次数很频繁，先了解一点异或的性质有好处。

性质：

1、ab=ba

2、(ab)c=a(bc)

3、abca=bc

4、a0=a

5、a1：将a的二进制表示的最后1位取补

6、a(-1)：将a的二进制表示的后n位按位取补

2、知识浏览

     

1、格雷码的形式定义：

                           

                            

      其中：表示空串，R表示反序，即reverse order。

2、令g(k)表示二进制格雷码k的对应数值，那么，若k=+r  (r<)，则：

                            g(k)=+g(-1-r)

3、若k=()B，g(k)=()B，那么：

                            a_j=b_jb_j+1         0<=j<=n-1                                            （7）

     

      证明：用数学归纳法，对k进行归纳。

      1）：k=1时，显然成立。

      2）：假设k<T时，命题均成立。

      3）：当k=T时，若T=(1)B，即：T=2ⁿ+()B，于是，有：

                                        g(T)=+g(-1-()B)

                 也就是：g(T)=+g( (11...1)B - ()B )

                 (11...1)B - ()B，就是将按位取补，因此，上式等价于：

                                       g(T)=+g( (-1)()B )

                                              =2ⁿ+g( ( )B )   其中_⁼b_j¹

                 _^而g( ( )B )

                    = g( (b_n-11)(b_n-11b_n-21)．．．(b₁1b₀1) )

                    =g( (b_n-11)(b_n-1b_n-2)．．．(b₁b₀) )

                 故：g(T)=+g( (-1)()B )

　　　　　　　　＝g( 1(b_n-11)(b_n-1b_n-2)．．．(b₁b₀) )

　　　　因此，当k=T时，命题也成立。

　　综上，命题成立！

4、由g(k)得到k的反转公式：

               

    证明：

 　　由(7)有：a_j=b_jb_j+1

     因此：    a_j+1=b_j+1b_j+2

                    _．．．

                     a_n-2=b_n-2b_n-1

                     a_n-1=b_n-10

     　将以上的式子依次异或，得到：

　      a_ja_j+1．．．a_n-2a_n-1=b_jb_j+1b_j+1b_j+2．．．b_n-2b_n-1b_n-10

    　也就是：

　　　　b_j0=a_ja_j+1．．．a_n-2a_n-1

    　即：

　　　　b_j=a_ja_j+1．．．a_n-2a_n-1

5、由异或运算的结合律，就可以得到 

6、证明：

           

     证明：

            因为  g(+r)=+g(-1-r)  

           而：-1-r=r(2ⁿ-1)

           因此，g(-1-r)=g( r(2ⁿ-1) )

           又由（11）得：

                       g(-1-r)=g(r)g(2ⁿ-1)

           而，g(2ⁿ-1)=100...0

           故g(-1-r)=g(r)100...0

           由对应关系，知道：

                          g(-1-r)对应于

           因此：