DDA算法和Bresenham算法

作者：朱金灿
来源：http://blog.youkuaiyun.com/clever101/
DDA算法和Bresenham算法是计算机图形学中绘制直线的两种常用算法。本文具体介绍一下DDA算法和Bresenham算法实现的具体思路。DDA算法主要是根据直线公式y = kx + b来推导出来的，其关键之处在于如何设定单位步进，即一个方向的步进为单位步进，另一个方向的步进必然是小于1。算法的具体思路如下：

1.  输入直线的起点、终点；
2.  计算x方向的间距：△X和y方向的间距：△Y。
3. 确定单位步进，取MaxSteps = max（△X，△Y）; 若△X>=△Y，则X方向的步进为单位步进，X方向步进一个单位，Y方向步进△Y/MaxSteps;否则相反。
4. 设置第一个点的像素值
5. 令循环初始值为1，循环次数为MaxSteps，定义变量x,y，执行以下计算：
a. x增加一个单位步进，y增加一个单位步进
b. 设置位置为（x,y）的像素值

具体实现代码如下：

//@brief 浮点数转整数的宏  
#define  FloatToInteger(fNum)   ((fNum>0)?static_cast<int>(fNum+0.5):static_cast<int>(fNum-0.5))  
/*! 
*  @brief DDA画线函数 
* 
*  @param pDC      [in]窗口DC 
*  @param BeginPt  [in]直线起点 
*  @param EndPt    [in]直线终点 
*  @param LineCor  [in]直线颜色 
*  @return 无 
*/  
void CDrawMsg::DDA_DrawLine(CDC *pDC,CPoint &BeginPt,CPoint &EndPt,COLORREF LineCor)  
{  
    long YDis = (EndPt.y - BeginPt.y);  
    long XDis = (EndPt.x-BeginPt.x);  
    long MaxStep = max(abs(XDis),abs(YDis)); // 步进的步数  
    float fXUnitLen = 1.0f;  // X方向的单位步进  
    float fYUnitLen = 1.0f;  // Y方向的单位步进  
    fYUnitLen = static_cast<float>(YDis)/static_cast<float>(MaxStep);  
    fXUnitLen = static_cast<float>(XDis)/static_cast<float>(MaxStep);  
    // 设置起点像素颜色  
    pDC->SetPixel(BeginPt.x,BeginPt.y,LineCor);   
    float x = static_cast<float>(BeginPt.x);  
    float y = static_cast<float>(BeginPt.y);  
    // 循环步进  
    for (long i = 1;i<=MaxStep;i++)  
    {  
        x = x + fXUnitLen;  
        y = y + fYUnitLen;  
        pDC->SetPixel(FloatToInteger(x),FloatToInteger(y),LineCor);  
    }  
}  

Bresenham算法是DDA算法画线算法的一种改进算法。本质上它也是采取了步进的思想。不过它比DDA算法作了优化，避免了步进时浮点数运算，同时为选取符合直线方程的点提供了一个好思路。首先通过直线的斜率确定了在x方向进行单位步进还是y方向进行单位步进：当斜率k的绝对值|k|<1时，在x方向进行单位步进；当斜率k的绝对值|k|>1时，在y方向进行单位步进。

下面以|k|<1时推导Bresenham算法的数学依据：

请看上图，已知有一直线y = kx+b，|k|<1。我们通过斜率确定了x方向为单位步进。当x = Xm时，y = Ym。那么当x 执行一个单位步进时（即x = Xm+1时）,y等于Ym还是等于Ym+1更符合这个直线方程呢？单凭肉眼我们很难得出结论，最好的办法当然是比较Ym和Ym+1和真实的方程的y值的差是多少（即Yreal = k*(Xm+1)+b），看看哪一个更靠近真实的方程的y值。

我们设

Dupper = Ym+1 - Yreal = Ym+1 - k*(Xm+1)+b）; 表示Ym+1和方程真实值的差
Ddown = Yreal - Ym = k*(Xm+1)+b）- Ym; 表示Ym和方程真实值的差

那就是我们要比较Dupper和Ddown的大小。假设

Diff = Dupper - Ddown = （Ym+1 - k*(Xm+1)+b）） - （k*(Xm+1)+b）- Ym） 

令△X 为线段x方向的间距，△Y 为线段y方向的间距。

Pm = △X* Diff = 2*△X* Ym-2*△Y* Xm-2*△Y-△X*（2b-1）；
那么Pm+1 = Pm+2*△X*（Ym+1- Ym）-2*△Y；

其中Ym+1- Ym取0还是1，取决于Pm的符号。

根据等式
Diff = Dupper - Ddown = （Ym+1 - k*(Xm+1)+b）） - （k*(Xm+1)+b）- Ym）
以及k = △Y/△X，
我们可以得出起始像素（x0,y0）的参数p0的值：

P0 =△X-2*△Y；

同理我们推出|k|>1的情况，

Qm = 2*Xm*△Y-2*Ym*△X+（2b-2）*△X+△Y；
Qm+1 = Qm+2*（Xm+1-Xm）*△Y-2*△X；

其中Xm+1-Xm等于0还是1，取决于Qm的符号

其中第一个参数Q0 = △Y-2*△X；

明白了数学原理，我们很快能确定算法步骤：

1. 输入线段的起点和终点。

2. 判断线段的斜率是否存在（即起点和终点的x坐标是否相同），若相同，即斜率不存在，
   只需计算y方向的单位步进（△Y+1次），x方向的坐标保持不变即可绘制直线。

3. 计算线段的斜率k，分为下面几种情况处理
   a. k等于0，即线段平行于x轴，即程序只需计算x方向的单位步进，y方向的值不变
   b. |k|等于1，即线段的x方向的单位步进和y方向的单位步进一样，皆为1。直接循环△X次计算x和y坐标。

4. 根据输入的起点和终点的x、y坐标值的大小决定x方向和y方向的单位步进是1还是-1

5. 画出第一个点。

6. 若|k| <1，设m =0,计算P0，如果Pm>0，下一个要绘制的点为（Xm+单位步进，Ym），
   Pm+1 = Pm -2*△Y;
   否则要绘制的点为（Xm+单位步进，Ym+单位步进）
   Pm+1 = Pm+2*△X-2*△Y；

7. 重复执行第七步△X-1次；

8. 若|k| >1，设m =0,计算Q0，如果Qm>0，下一个要绘制的点为（Xm，Ym+单位步进），
   Pm+1 = Pm -2*△X;
   否则要绘制的点为（Xm+单位步进，Ym+单位步进）
   Pm+1 = Pm+2*△Y-2*△X；

9. 重复执行第8步△Y-1次；

参考文献：
1. 计算机图形学，作者: (美国)Donald Hearn(美国)M.Pauline Baker 译者: 蔡士杰，宋继强，蔡敏