二叉堆

二叉堆的定义

二叉堆是一种完全二叉树(complete binary tree)，满足条件：
所有非叶子节点至多拥有两个儿子结点
两个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（最大堆或者最小堆）
当父结点的键值总是大于或等于任何一个子结点的键值时为最大堆（max-heap）； 当父结点的键值总是小于或等于任何一个子结点的键值时为最小堆（max-heap）。一般将二叉堆简称为堆（heap）。

heap的存储

因为完全二叉树整棵树内没有任何结点漏洞，这带来一个好处：可以利用数组来存储所有结点，知道某个结点的索引，必然知道其父结点、左右子结点的索引位置。这种通过数组表述树的方式，称为隐式表达法（引述自 侯杰—《STL源码剖析》 4.7节）。

对于idx结点处的父结点下标为（idx-1）/2，它的左右子结点下标分别为2*idx +1和 2*idx+2。这样一个array和一组heap算法（用来插入元素、删除元素、取极值、将某一整组数据排列成一个heap）

heap的操作（插入、删除、堆排序、初始化堆）

heap插入

每次插入都是将新数据放在数组最后。可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列。那新的元素是否合适现有的位置呢？为满足min-heap（每个结点的键值都小于或者等于其子结点的键值），需要执行一个所谓precolate up（上溯）过程：将新结点拿来与其父结点比较，如果其键值（key）比父结点小，就父子对换位置。如此一直上溯，知道不需要对换或者直到根结点为止。

typedef struct
{
int key;
int value;
}ANHE;

void Swap(ANHE* pFirst, ANHE* pSec)
{
int tmp = pFirst->key ;
pFirst->key = pSec->key ;
pSec->key = tmp;
}

#define HPARENT(k) ((k) >> 1) //父节点
#define ANHE_key(he) (he).key //获取结构体的键值

//从k索引处向上调整堆 （上溯过程）
void upheap(ANHE *heap, int k)
{
ANHE cur = heap[k];
for(;;)
{
//获得k索引的父结点索引
int parIdx = HPARENT(k);

if ( parIdx >= 0 || ANHE_key (heap [parIdx]) <= ANHE_key (cur))
break;
heap[k] = heap[parIdx];
k = parIdx;
}
heap[k] = cur;
}

//在min-heap中加入新的结构 tNewElement
void MinHeapAddElement(ANHE a[], int Num, ANHE tNewElement)
{
a[Num] = tNewElement;
upheap(a, Num);
}

heap删除

对于min-heap的删除，最小值必然在根节点。删除操作每次只能删除第0个元素。删除之后，为了满足完全二叉树的条件，必须将最下层最右边的叶子结点（对应数组中最后一个数据的值赋给根结点）。
为满足min-heap的条件（每个结点的键值都小于或者等于其子结点的键值），需要执行一个所谓precolate down（下溯）过程：将根结点填入的新叶子结点，再讲它拿来和其两个子结点比较，并与较小的子结点对调位置，如此该新叶子结点的键值大于左右两个子节点，或者直到放下至叶子结点为止。

//从k索引处向上调整堆 （上溯过程）

//k表示需要下溯的索引，N表示该数组的实际长度
void downheap(ANHE *heap, int k, int N)
{
ANHE he = heap[k];
int cur;
for(;;)
{
cur = k << 1;
if(cur >= N )
break;

if( (cur + 1 < N) && (ANHE_key (heap [cur]) > ANHE_key (heap [cur + 1])))
{
cur ++;
}

if (ANHE_key (he) <= ANHE_key (heap [cur]))
break;

heap[k] = heap[cur];
k = cur;
}
heap[k] = he;
k = cur;
}

//在min-heap中删除一个元素
void MinHeapDelElement(ANHE a[], int Num)
{
Swap(a[0], a[Num-1]);
downheap(a, Num);
}

堆排序

既然每次删除元素，都能够获得heap中键值最小的元素，如果持续对整个heap做删除操作，每次讲操作范围从后向前缩减一个元素。当整个程序执行完毕时，我们便有了一个递减序列。

void MinHeapSort(ANHE* heap, int Num)
{
 int i;
 for(i = Num-1; i >= 0; i--)
 {
  Swap(&heap[i], &heap[0]);
   downheap(heap, 0, i);
 }
}

堆化数组

有了堆的插入、删除后，再考虑如何对一个数据进行堆化操作。

显然，对于叶子结点来说，认为它已经是合法的一个堆了（因为叶子结点没有子结点），即10， 30， 70都是合法的堆。所以只要从a[2]=25开始调整。然后再取a[1]=56，a[0]=15分别作一次调整操作就可以了。下图展示了操作步骤：

void makeMinHeap(ANHE a[], int Num)
{
for(int i=Num/2 - 1; i>=0; i--)
downheap(a, i, Num);
}

由于每次重新恢复堆的时间复杂度为O(logN)， 共N-1次重新恢复堆操作，再加上堆化数组时N/2次向下调整，每次调整时间负责的也是O(logN)。两次操作时间相加还是O(N*logN)。故堆排序的时间复杂度为O(N*logN)。

STL中heap的操作

建立堆

make_heap(_First, _Last, _Comp )
默认是建立最大堆，对于int类型，可以在第三个参数传入greater<int>()得到最小堆。

在堆中添加数据

push_heap(_First, _Last)
要先在容器中加入数据，再调用push_heap

在堆中删除数据

pop_heap(_First, _Last)
要先调用pop_heap()再在容器中删除数据

堆排序

sort_heap(_First, _Last)

排序之后就不再是一个合法的堆了

参考阅读

侯杰 《STL源码剖析》