矩阵运算

本文深入探讨了矩阵加法、常数与矩阵相乘以及矩阵与矩阵相乘的基本原理与运算律,详细阐述了矩阵运算的规则及应用。

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一、矩阵加法

设有两个矩阵A和B,那么矩阵A和B的和为:


需要注意的是,只有两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算。

矩阵加法满足以下运算律:

(1) A + B = B + A

(2) (A + B) + C = A + (B + C)

设A = (aij),记-A = (-aij),-A称为矩阵A的负矩阵,则有A + (-A) = 0,由此可得矩阵的减法为:

A - B = A + (-B)


二、常数与矩阵相乘

常数与矩阵A的乘积的记为A或A


常数与矩阵相乘满足以下运算律:

(a) 

(b) 

(c) 


三、矩阵与矩阵相乘

设A = (aij)是一个m*s矩阵,B = (bij)是一个s*n矩阵,那么矩阵A和B的乘积是一个m*n的矩阵C = (cij),其中:


并把乘积记作C = AB

需要注意的是只有第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘,由此可知矩阵乘积是有顺序的。

矩阵乘法满足以下运算律:

(a) (AB)C = A(BC)

(b)

(c) A(B + C) = AB + AC

     (B + C)A = BA + CA


矩阵乘法的例子:


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