LeetCode 416. 分割等和子集(0-1背包问题变形)

背包问题 数学建模 背包问题 数学建模 背包问题 数学建模 背包问题: 01背包问题 02: 完全背包问题 03: 多重背包问题 04: 混合三种背包问题 05: 二维费用的背包问题 06: 分组的背包问题 07: 有依赖的背包问题 08: 泛化物品 09: 背包问题问法的变化 11: 背包问题的搜索解法 立即下载

描述

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集,使得两个子集的元素和相等。

注意:
每个数组中的元素不会超过 100
数组的大小不会超过 200

示例 1:
输入: [1, 5, 11, 5]
输出: true
解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].

示例 2:
输入: [1, 2, 3, 5]
输出: false
解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.

思路

本题是0-1背包问题的一个变形。首先,若数组中的数总和sum为奇数,那么肯定不能分成两组相等的子集。想要分成两组相等的子集,那么每个子集的的和就是数组的总和的1/2,这样问题便转化为:有一个能装重量为sum/2的背包,现在有n件物品,每件物品的重量和价值相等,能否从中选出部分物品,每件物品只能装一次,恰好将背包装满?所以这道题不需要考虑价值,只要看是否能恰好装满即可。

还是0-1背包问题需要考虑的三件事:

状态有两个;在前i个物品中选择,能否刚好凑出重量j。dp[i][j]表示在前i件物品中选择时,能否刚好凑出重量j。true为能,false为不能。面对第i件物品,有两种选择,将其加入背包或者不加入背包。同样分为当前背包容量j能否装下第i件物品的情况。若背包容量j不足以装下第i件物品,那么只能选择不装入。若容量j能装下第i件物品,则考虑要不要将其装入背包。若不把第i件物品加入背包,那么能否恰好装满容量为j的背包,取决于只考虑前i-1件物品时能否恰好装满容量为j的背包,若只考虑前i-1件就能恰好装满容量为j的背包,那么考虑前i件物品也能恰好装满容量为j的背包,否则亦然。若把第i件物品装入背包,那么便取决于在只考虑前i-1件物品时,容量为j - nums[i-1]的背包能否被恰好装满。(nums索引从0开始,所以是i-1)若容量为j - nums[i-1]的背包能恰好装满,那加上第i件物品的重量便恰好装满了,若容量为j - nums[i-1]的背包也不能被恰好装满,那加上第i件物品也不能恰好装满容量为j的背包。

状态转移方程如下:dp[i][j] = dp[i-1][j] || dp[i-1][j - nums[i-1]]。

解答

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int size = nums.size();
        int sum = 0;
        for(int num : nums) sum += num;
        if (sum % 2 == 1) return false;
        else sum /= 2;

        vector<vector<bool> > dp(size + 1, vector<bool>(sum + 1, false));
        for(int i = 0;i <= size; ++i) dp[i][0] = true;
        
        for(int i = 1;i <= size; ++i)
            for(int j = 1;j <= sum; ++j){
                if(j >= nums[i-1]){//能装下
                    if(dp[i-1][j - nums[i-1]] == true) dp[i][j] = true;//放入背包
                    else dp[i][j] = dp[i-1][j]; //不放入背包                 
                }
                else dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
        return dp[size][sum];
    }
};
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plot(cnn.rL);assert(er<0.12, 'Too big error');```Example: Neural Networks---------------------```matlabfunction test_example_NNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);% normalize[train_x, mu, sigma] = zscore(train_x);test_x = normalize(test_x, mu, sigma);%% ex1 vanilla neural netrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samples[nn, L] = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.08, 'Too big error');%% ex2 neural net with L2 weight decayrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.weightPenaltyL2 = 1e-4; % L2 weight decayopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex3 neural net with dropoutrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.dropoutFraction = 0.5; % Dropout fraction opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex4 neural net with sigmoid activation functionrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm'; % Sigmoid activation functionnn.learningRate = 1; % Sigm require a lower learning rateopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex5 plotting functionalityrand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]);opts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through datann.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex6 neural net with sigmoid activation and plotting of validation and training error% split training data into training and validation datavx = train_x(1:10000,:);tx = train_x(10001:end,:);vy = train_y(1:10000,:);ty = train_y(10001:end,:);rand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]); nn.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, tx, ty, opts, vx, vy); % nntrain takes validation set as last two arguments (optionally)[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');```[![Bitdeli Badge](https://d2weczhvl823v0.cloudfront.net/rasmusbergpalm/deeplearntoolbox/trend.png)](https://bitdeli.com/free "Bitdeli Badge")

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