解题报告之 HDU5288 OO' s Sequence-优快云博客

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本篇解题报告深入解析 HDU5288 中的 OO'sSequence 问题，通过数学算法提供解决策略。首先详细解读题目背景与输入输出规范，接着阐述关键思路——将关注焦点从子区间转移到单个数值，利用因子定位技巧优化搜索过程。通过逐步分析，最终实现高效计算子区间中满足特定条件的数值数量。实例演示与代码实现相辅相成，清晰展示了解题步骤与细节处理。

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解题报告之 HDU5288 OO' s Sequence

Description

OO has got a array A of size n ,defined a function f(l,r) represent the number of i (l<=i<=r) , that there's no j(l<=j<=r,j<>i) satisfy a _imod a _j=0,now OO want to know

（ ）

Input

There are multiple test cases. Please process till EOF.
In each test case:
First line: an integer n(n<=10^5) indicating the size of array
Second line:contain n numbers a _i(0<a _i<=10000)

Output

For each tests: ouput a line contain a number ans.

Sample Input

5
1 2 3 4 5

Sample Output

题目大意：给你n个数的序列（其中数可能重复），对于每一个子区间，求该子区间中没有因子也在该子区间的的个数。再把所有子区间内这样的数的数量求和。比如样例中的 1 2 3 4 5，那么子区间[1,2,3]中这样的数就是1，2，3三个。然后对于子区间2 3 4，这样的数就只有两个，因为4有因子2也在该子区间中。

分析：很自然的想法是遍历每一个子区间，再统计有多少个数，再加起来。但这样做是不可行的，这样就中了题目的陷阱，被那个公式给误导了，所以我们必须要跳出惯性思维，将关注的单位从子区间变到每一个数。

考虑一个数，它能被统计多少次取决于什么呢？取决于它在多少个子区间内能够做到没有因子。所以我们很自然的去关注离他最近的左右两个因子，因为这两个因子范围以外的子区间都没有卵用。。。比如5 5 2 3 3 4 3 2 5 5，那么对于4来说，我们找到左右两个因子2之后，就可以发现从5开始和结束的子区间都不会算到4，因为有2在那里杵着。

至此，问题转化为，找到每个数左右离它最近的因子。然后就可以很容易的知道这个数能够被统计多少次了。那么怎么去寻找左右两边的因子呢？有两种做法，首先介绍我的方法。注意到可能的数字一共只有1e4个，先从左到右扫描依次更新两个数据，一是这个数最后出现的位置，用loc数组表示，另一个是这个数左边离它最近的因子的位置则用该数的每一个因子（遍历），求所有因子中最后出现的最大值。

然后再从右到左扫描，原理一样的。完成之后再遍历序列，对于每一个数求它被统计多少次即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int MAXN = 1e5 + 10;
const int MAXM = 1e4 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;


int nums[MAXN]; //序列中的数
int lb[MAXN], rb[MAXN]; //序列中的数左右离他最近的因子的位置
int latest[MAXM];//某个数字最后出现的位置

int main()
{
	int n;
	while(scanf( "%d", &n ) == 1)
	{
		memset( lb, 0, sizeof lb );
		memset( rb, INF, sizeof rb );
		//reset

		for(int i = 1; i <= n; i++)
		{
			scanf( "%d", &nums[i] );
		}//input

		for(int i = 0; i < MAXM; i++)	latest[i] = 0;

		for(int i = 1; i <= n; i++)
		{
			for(int j = 1; j <= sqrt( nums[i] ); j++)
			{//遍历每个因子
				if(nums[i] % j == 0)
				{
					lb[i] = max( lb[i], latest[j] );
					lb[i] = max( lb[i], latest[nums[i] / j] );
				}
			}
			latest[nums[i]] = i; //更新位置，注意要遍历后更新，因为本身也是自己的因子

		}// tackle 1

		for(int i = 0; i < MAXM; i++)	latest[i] = n + 1;
		for(int i = n; i >= 1; i--)
		{
			for(int j = 1; j <= sqrt( nums[i] ); j++)
			{
				if(nums[i] % j == 0)
				{
					rb[i] = min( rb[i], latest[j] );
					rb[i] = min( rb[i], latest[nums[i] / j] );
				}
			}
			latest[nums[i]] = i;
		}// tackle 2 同理

		ll ans = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i++)
		{
			ans = (ans + (i - lb[i])*(rb[i] - i)) % MOD; 
			//统计序列中每个数被统计的次数，可以理解为范围内左边选一个数的选法*右边选一个数的选法。
		}
		printf( "%lld\n", ans );
	}
	return 0;
}

还有一种方法是，记录每个数字出现的位置，每次更新的时候用二分去找距离它最近的因子的位置。但是很麻烦也更慢。