【物理应用】基于龙格库塔法和ode45、ode23球体的自由落体附Matlab仿真

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🔥 内容介绍

“龙格 - 库塔法（RK）与 ode45/ode23 结合的球体自由落体仿真”，是用数值解法求解动力学微分方程的典型应用，核心是通过 RK 类算法（ode45/ode23 本质是改进 RK 法），精准计算球体在重力、空气阻力作用下的速度与位移变化。

一、核心原理：自由落体微分方程与数值解法

球体自由落体是 “二阶动力学系统”，需先建立微分方程，再用龙格 - 库塔法（RK）进行数值求解，而 MATLAB 的 ode45、ode23 是封装好的 RK 类求解器，可直接调用。

1. 自由落体微分方程建立忽略风场、自旋等干扰，球体受重力（G） 和空气阻力（F_d） 作用，运动满足牛顿第二定律。

   • 重力：G = mg（g 为重力加速度，取 9.8m/s²）

   • 空气阻力：F_d = 0.5ρC_dA v²（A 为迎风面积，A=πr²；v 为球体瞬时速度，阻力方向与运动方向相反）

   • 设球体质量为 m、半径 r、空气阻力系数为 C_d（球形物体通常取 0.47）、空气密度为 ρ，向下为正方向：

   • 动力学方程：m・a = mg - 0.5ρC_dA v²（a 为加速度，a=dv/dt）

   • 转化为一阶微分方程组（数值求解需将二阶方程拆分为两个一阶方程）：

     \begin{cases} 
     \frac{dx}{dt} = v \quad \text{（位移对时间的导数等于速度）} \\
\frac{dv}{dt} = g - \frac{0.5\rho C_d A}{m} v^2 \quad \text{（速度对时间的导数等于加速度）}
\end{cases}

     其中 x 为下落位移，v 为瞬时速度，t 为时间。

2. 龙格 - 库塔法与 ode45/ode23 的关系

   • 龙格 - 库塔法（如经典 RK4）是通过多步计算近似导数，提高数值解精度；

   • ode45 是四阶 - 五阶变步长 RK 法（Fehlberg 算法），兼顾精度与效率，适合大多数场景；

   • ode23 是二阶 - 三阶变步长 RK 法，精度低于 ode45，但计算速度更快，适合对实时性要求高的场景。

⛳️ 运行结果

📣 部分代码

d = 0.01;

h = 0.01;

t_m = 0.5;

% Coefficients

A = 1 + 0.5 * rho_ratio;

B = (1 - rho_ratio) * g;

C = 3 * rho_ratio / (4 * d);

[t1, y1] = Runge_Kutta(@f, [0 t_m], [0 0]);

[t2, y2] = ode45(@f, [0 t_m], [0 0]);

[t3, y3] = ode23(@f, [0 t_m], [0 0]);

figure(1);

plot(t1, y1(:, 1), 'r-', t2, y2(:, 1), 'b--', t3, y3(:, 1), 'g.');

title('v(t)');

xlabel('t, s');

ylabel('v, m/s');

xlim([0 t_m]);

legend('RungeKutta','ode45', 'ode23', 'Location', 'best')

figure(2);

🔗 参考文献

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2.3 SVM/CNN-SVM/LSSVM/RVM支持向量机系列时序、回归预测和分类

2.4 CNN|TCN|GCN卷积神经网络系列时序、回归预测和分类

2.5 ELM/KELM/RELM/DELM极限学习机系列时序、回归预测和分类

2.6 GRU/Bi-GRU/CNN-GRU/CNN-BiGRU门控神经网络时序、回归预测和分类

2.7 ELMAN递归神经网络时序、回归\预测和分类

2.8 LSTM/BiLSTM/CNN-LSTM/CNN-BiLSTM/长短记忆神经网络系列时序、回归预测和分类

2.9 RBF径向基神经网络时序、回归预测和分类

2.10 DBN深度置信网络时序、回归预测和分类

2.11 FNN模糊神经网络时序、回归预测

2.12 RF随机森林时序、回归预测和分类

2.13 BLS宽度学习时序、回归预测和分类

2.14 PNN脉冲神经网络分类

2.15 模糊小波神经网络预测和分类

2.16 时序、回归预测和分类

2.17 时序、回归预测预测和分类

2.18 XGBOOST集成学习时序、回归预测预测和分类

2.19 Transform各类组合时序、回归预测预测和分类

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