基于对数灰关联度的IOWGA算子最优组合预测模型附Matlab代码

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一、引言：组合预测模型的关联度优化与加权融合升级

在经济指标预测、能源需求预判、产品销量预估等实际场景中，单一预测模型（如灰色 GM (1,1)、ARIMA、BP 神经网络）常因数据特性（小样本、非线性、不确定性）或模型假设局限，难以全面捕捉预测对象的变化规律，导致预测精度受限。组合预测模型通过融合多模型优势，成为提升预测可靠性的关键路径，但传统组合模型存在两大核心问题：

一是关联度评估片面：多采用常规灰关联度衡量预测序列与实际序列的相似性，易受序列绝对数值大小影响，难以精准反映 “相对变化趋势一致性”（如某商品销量从 100 增长至 200 与从 1000 增长至 2000，绝对差值差异大但相对增长趋势一致，常规灰关联度可能给出不同评估结果）；二是加权融合缺乏针对性：传统加权几何平均（WGA）算子权重分配固定，无法结合模型动态性能（如某模型近期预测精度显著提升却未被赋予更高权重），导致融合效果不佳。

为解决上述问题，本文引入对数灰关联度与IOWGA（诱导有序加权几何平均）算子，构建最优组合预测模型。其中，对数灰关联度通过对数变换消除序列量级差异，更精准量化 “相对变化趋势关联度”；IOWGA 算子通过 “诱导变量排序 + 几何平均加权”，将对数灰关联度反映的模型趋势适配性转化为动态权重，实现 “趋势一致模型优先、极端误差抑制” 的双重目标。该模型为小样本、非线性预测场景提供了更科学的最优预测方案。

二、核心基础理论：从对数灰关联度到 IOWGA 算子的协同逻辑

（一）对数灰关联度：精准量化趋势关联的核心工具

对数灰关联度是在传统灰关联度基础上，通过对数变换优化的关联度评估方法，其核心优势是 “消除序列量级影响，聚焦相对变化趋势”，适用于作为组合预测模型中 “模型趋势适配性” 的评估指标。

1. 定义与计算步骤

设预测对象的实际值序列为X₀ = (x₀(1), x₀(2), ..., x₀(n))（n为样本数量，x₀(k) > 0，k = 1,2,...,n），第i个单一预测模型的预测值序列为X_i = (x_i(1), x_i(2), ..., x_i(n))（x_i(k) > 0，i = 1,2,...,m，m为单一模型数量），则对数灰关联度r₀i的计算步骤如下：

（1）对数变换标准化：

对实际序列与预测序列进行自然对数变换，消除量级差异，得到标准化序列：

X₀^log = (lnx₀(1), lnx₀(2), ..., lnx₀(n))

X_i^log = (lnx_i(1), lnx_i(2), ..., lnx_i(n))

（2）计算绝对差序列：

Δ₀i(k) = |x₀^log(k) - x_i^log(k)|（k = 1,2,...,n），即标准化后实际序列与预测序列在第k个时刻的绝对差值。

（3）确定两极差值：

Δ_max = max{Δ₀i(k) | i = 1,...,m; k = 1,...,n}（所有绝对差中的最大值）

Δ_min = min{Δ₀i(k) | i = 1,...,m; k = 1,...,n}（所有绝对差中的最小值）

（4）计算关联系数：

ξ₀i(k) = (Δ_min + ρΔ_max) / (Δ₀i(k) + ρΔ_max)

其中，ρ为分辨系数，取值范围(0,1)，通常取0.5，用于平衡关联度的灵敏度与稳定性。

（5）计算对数灰关联度：

r₀i = (1/n)∑(k=1 to n) ξ₀i(k)

2. 核心意义

对数灰关联度r₀i的取值范围为(0,1]，r₀i越接近 1，说明第i个预测模型的序列与实际序列的相对变化趋势越一致；r₀i越接近 0，趋势一致性越差。例如，某商品销量实际序列X₀=(100,200,300)，模型 A 预测序列X₁=(110,220,330)，模型 B 预测序列X₂=(1000,2000,3000)，常规灰关联度可能因X₂绝对数值大而给出较低值，但对数灰关联度中X₁^log=(4.70,5.30,5.70)、X₂^log=(6.91,7.60,8.01)，与X₀^log=(4.61,5.30,5.70)的趋势一致，r₀1与r₀2均接近 1，精准反映了趋势关联度。

（二）IOWGA 算子：适配趋势关联的动态加权工具

IOWGA 算子是在 OWGA 算子基础上扩展的加权融合工具，其核心特性是通过 “诱导变量排序” 确定权重分配顺序，再以几何平均形式融合预测值，既能突出趋势一致模型的贡献，又能抑制极端预测值的干扰。

1. 定义

设〈v₁, a₁〉, 〈v₂, a₂〉, ..., 〈v_m, a_m〉为m个诱导有序对，其中v_i为诱导变量（此处取对数灰关联度r₀i，用于反映模型趋势适配性），a_i为输入值（单一模型的预测值x_i(k)，a_i > 0）。对诱导变量进行降序排序，得到v_(σ(1)) ≥ v_(σ(2)) ≥ ... ≥ v_(σ(m))（σ为{1,2,...,m}的置换，代表排序后的模型序号），则 IOWGA 算子的输出（即组合预测值）为：

IOWGA(〈v₁,a₁〉,...,〈v_m,a_m〉) = ∏(i=1 to m) (a_(σ(i)))^(w_i)

其中，w = (w₁, w₂, ..., w_m)^T为 IOWGA 算子的权重向量，满足w_i ≥ 0且∑(i=1 to m) w_i = 1，通常通过 “最大熵准则” 或 “误差最小化” 确定（如m=3时，w=(0.45,0.35,0.2)，确保排序靠前的模型权重更大）。

2. 关键特性

（1）诱导排序性：权重分配顺序由诱导变量（对数灰关联度）决定，趋势一致性越强的模型排序越靠前，权重越大，符合 “趋势优先” 的组合逻辑；

（2）几何平均优势：相较于算术平均，几何平均对极端值更稳健，若某模型出现极端预测值（如远超实际值的异常预测），几何平均会通过指数加权降低其对组合结果的影响，避免极端值主导预测；

（3）单调性：若所有输入值a_i增大，且诱导变量排序不变，则 IOWGA 算子的输出单调递增，保证预测结果的稳定性，符合实际预测场景的逻辑。

（三）最优组合预测模型的权重确定逻辑

基于对数灰关联度与 IOWGA 算子的最优组合预测模型，权重确定遵循 “双目标融合” 逻辑：

1. ** primary 目标：对数灰关联度最大化 **：优先选择r₀i高的模型，确保组合预测序列与实际序列趋势一致；

1. ** secondary 目标：预测误差最小化 **：对r₀i相近的模型，通过计算平均绝对误差（MAE）调整权重，误差小的模型权重更高；

最终通过 IOWGA 算子将 “r₀i- 误差” 双目标转化为最优权重，实现 “趋势一致性” 与 “误差最小化” 的平衡，构建最优组合预测模型。

三、基于对数灰关联度的 IOWGA 算子最优组合预测模型构建步骤

以 “某地区月度新能源汽车销量预测” 为例（n=12个历史月度数据，m=3个单一模型：灰色 GM (1,1)、ARIMA、LSTM 神经网络），详细阐述模型构建的 6 个核心步骤：

（一）步骤 1：数据收集与单一模型预测

1. 数据收集：收集该地区过去 12 个月的实际新能源汽车销量序列X₀（单位：万辆）：

X₀=(5.2,5.8,6.5,7.1,7.8,8.5,9.2,9.8,10.5,11.2,11.8,12.5)

1. 单一模型训练与预测：

• GM (1,1) 模型：对X₀进行累加生成，建立灰色微分方程，预测得到序列X₁=(5.0,5.7,6.4,7.0,7.7,8.4,9.1,9.7,10.4,11.0,11.6,12.3)；

• ARIMA 模型：通过 ACF/PACF 图确定阶数为 ARIMA (1,1,1)，拟合得到预测序列X₂=(5.3,5.9,6.6,7.2,7.9,8.6,9.3,9.9,10.6,11.3,11.9,12.6)；

• LSTM 模型：输入层为前 2 个月销量，隐层为 16 个神经元，训练得到预测序列X₃=(4.9,5.6,6.3,6.9,7.6,8.3,9.0,9.6,10.3,11.1,11.7,12.2)；

1. 数据预处理：确保所有预测序列X_i均为正数（满足对数灰关联度与 IOWGA 算子的计算要求），若存在零或负值，通过 “平移变换”（如x_i(k)=x_i(k)+0.1）调整。

（二）步骤 2：计算单一模型的对数灰关联度r₀i

按对数灰关联度计算步骤，结合X₀与X₁、X₂、X₃，具体计算如下：

1. 对数变换标准化：

X₀^log=(1.65,1.76,1.87,1.96,2.05,2.14,2.22,2.28,2.35,2.42,2.47,2.53)

X₁^log=(1.61,1.74,1.86,1.95,2.04,2.13,2.21,2.27,2.34,2.40,2.45,2.51)

X₂^log=(1.67,1.77,1.89,1.98,2.07,2.15,2.23,2.29,2.36,2.42,2.48,2.54)

X₃^log=(1.59,1.72,1.84,1.93,2.03,2.12,2.20,2.26,2.33,2.41,2.46,2.50)

1. 绝对差序列与两极差：

计算得到Δ₀1(k)最大值为 0.04，Δ₀2(k)最大值为 0.02，Δ₀3(k)最大值为 0.05；Δ_max=0.05，Δ_min=0（ρ=0.5）；

1. 关联系数与关联度：

通过计算得到r₀1=0.88，r₀2=0.95，r₀3=0.85；

即 ARIMA 模型（X₂）的趋势一致性最强，LSTM 模型（X₃）最弱。

（三）步骤 3：计算单一模型的预测误差

为进一步优化权重分配，计算每个单一模型的平均绝对误差（MAE）与均方根误差（RMSE），作为 “误差最小化” 目标的评估指标：

• MAE_i = (1/n)∑(k=1 to n)|x_i(k) - x₀(k)|

• RMSE_i = √[(1/n)∑(k=1 to n)(x_i(k) - x₀(k))²]

计算结果如下：

模型	MAE（万辆）	RMSE（万辆）	对数灰关联度r₀i
GM(1,1)	0.15	0.18	0.88
ARIMA	0.10	0.12	0.95
LSTM	0.20	0.23	0.85

（四）步骤 4：确定 IOWGA 算子的诱导变量与权重向量

1. 诱导变量优化：

为同时体现 “趋势一致性” 与 “误差最小化”，定义优化后的诱导变量v_i = r₀i / (1 + MAE_i)（分母1+MAE_i用于惩罚误差大的模型），计算得到：

v₁=0.88/(1+0.15)≈0.765，v₂=0.95/(1+0.10)≈0.864，v₃=0.85/(1+0.20)≈0.708；

诱导变量排序结果：v₂ > v₁ > v₃（对应模型排序：ARIMA > GM (1,1) > LSTM）。

1. 权重向量确定：

采用 “最大熵准则” 确定 IOWGA 算子的权重向量w。最大熵准则的目标是在 “排序越靠前权重越大” 的约束下，最大化熵值H(w) = -∑(i=1 to m)w_i ln w_i，以保证权重分配的合理性与稳定性。通过求解得到m=3时的最优权重向量：

w=(0.45, 0.35, 0.2)（满足w₁ > w₂ > w₃，∑w_i=1，熵值最大）。

（五）步骤 5：基于 IOWGA 算子的组合预测计算

按 IOWGA 算子公式，计算每个月度的组合预测值x_c(k)：

对于第k个月度，输入值为排序后的预测值a_(σ(1))=x₂(k

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2.7 ELMAN递归神经网络时序、回归\预测和分类

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2.13 BLS宽度学习时序、回归预测和分类

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