【数据驱动】【基于分布的 Hilbert 空间嵌入的随机最优控制】提出一种方法来计算具有任意干扰的随机系统的近似最优策略附Matlab代码

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🔥 内容介绍

本文提出了一种创新的数据驱动方法，旨在解决具有任意干扰的随机系统的近似最优策略计算问题。传统随机最优控制方法在处理复杂干扰和高维状态空间时面临计算复杂性和模型依赖性的挑战。为克服这些局限，本研究引入了基于分布的 Hilbert 空间嵌入（Distributional Hilbert Space Embedding, DHSE）技术，并将其与随机最优控制理论相结合。通过将系统状态的概率分布映射到再生核 Hilbert 空间（Reproducing Kernel Hilbert Space, RKHS）中，我们能够在 RKHS 中直接操作和学习分布之间的距离与关系，从而规避了显式密度估计的困难。在此基础上，我们开发了一种数据驱动的控制策略学习框架，利用观测数据构建系统的非参数模型，并在此模型上搜索近似最优控制策略。本文详细阐述了该方法的理论基础、算法设计以及在处理任意干扰下的有效性。通过仿真实验，我们验证了该方法在计算效率和策略性能上的优越性，为解决实际工程中的复杂随机控制问题提供了新的视角和工具。

关键词： 随机最优控制；数据驱动；Hilbert 空间嵌入；再生核 Hilbert 空间；概率分布；任意干扰

1. 引言

随机最优控制理论在工程、经济、金融和生物等领域具有广泛应用，旨在为具有不确定性的系统设计最优决策策略。然而，传统随机最优控制方法，如动态规划和Pontryagin最大值原理，在面对复杂系统动力学、高维状态空间以及难以精确建模的随机干扰时，往往会遭遇“维度灾难”和模型依赖性过强的问题。特别是在实际应用中，许多随机干扰呈现出复杂的非高斯、非线性特性，甚至其概率分布是未知的或随时间变化的，这给精确建模带来了巨大挑战。

近年来，随着大数据和机器学习技术的飞飞猛进，数据驱动的方法为解决上述问题提供了新的思路。数据驱动的控制旨在直接从观测数据中学习系统的行为模式和控制策略，从而减少对精确数学模型的依赖。在随机控制领域，如何有效地表示和处理系统状态的随机性是数据驱动方法的关键。传统的基于矩或参数化分布的方法在处理复杂分布时存在局限性，而基于采样的方法则可能需要大量的样本才能获得准确的估计。

本文旨在提出一种新颖的、数据驱动的随机最优控制方法，其核心思想是利用基于分布的 Hilbert 空间嵌入技术来表示和操作系统状态的概率分布。再生核 Hilbert 空间（RKHS）作为一种强大的数学工具，能够将复杂的非线性数据映射到高维线性空间中进行处理，并允许在空间中定义内积和距离。通过将概率分布嵌入到 RKHS 中，我们能够避免显式密度估计的困难，直接在 RKHS 中量化分布之间的相似性，并利用核方法进行统计推断和学习。

本文的主要贡献包括：

1. 引入基于分布的 Hilbert 空间嵌入技术到随机最优控制中：

    我们将概率分布作为 RKHS 中的元素进行处理，从而能够更灵活地应对任意形式的随机干扰。

2. 提出一种数据驱动的近似最优策略计算框架：

    利用观测数据构建系统的非参数模型，并在 RKHS 中直接优化控制策略，以最小化期望成本函数。

3. 开发一种处理任意干扰的鲁棒控制方法：

    本方法不依赖于对干扰分布的先验知识，能够通过数据学习其统计特性。

4. 通过仿真验证了方法的有效性：

    实验结果表明，该方法在计算效率和策略性能上均表现出色。

本文的组织结构如下：第二节回顾了随机最优控制和 Hilbert 空间嵌入的相关背景知识。第三节详细阐述了所提出的数据驱动的基于分布的 Hilbert 空间嵌入的随机最优控制方法。第四节通过仿真实验验证了该方法的有效性。第五节总结全文并展望未来的研究方向。

2. 背景知识

2.1 随机最优控制

• 动态规划 (Dynamic Programming, DP)：

   通过 Bellman 方程递归地求解最优值函数和最优策略。然而，对于高维状态空间，Bellman 方程的求解会面临“维度灾难”。

• Pontryagin 最大值原理 (Pontryagin's Maximum Principle, PMP)：

   将最优控制问题转化为两点边值问题。适用于连续时间系统，但对随机系统需要推广到随机最大值原理，求解复杂。

• 近似动态规划 (Approximate Dynamic Programming, ADP) / 强化学习 (Reinforcement Learning, RL)：

   通过函数逼近器（如神经网络）来近似值函数或策略函数，以应对高维问题。这些方法通常需要大量的试错经验或样本数据。

• 避免显式密度估计：

   无需计算概率密度函数，直接在 RKHS 中操作分布。

• 度量分布之间的距离：

   可以使用 RKHS 中的距离度量（如最大均值差异 MMD）来量化两个分布之间的差异。

• 适用于非参数数据：

   能够处理任意形式的概率分布，包括非高斯、多模态分布。

• 利用核方法进行学习：

   结合核方法，可以在 RKHS 中进行回归、分类等任务。

3. 数据驱动的基于分布的 Hilbert 空间嵌入的随机最优控制方法

本节将详细阐述所提出的数据驱动的基于分布的 Hilbert 空间嵌入的随机最优控制方法。该方法的核心思想是，通过观测数据学习系统状态分布的演化规律，并在 RKHS 中直接优化控制策略。

因此，总的期望成本函数可以表示为 RKHS 中内积的形式，从而将优化问题转换到 RKHS 中进行。

3.4 近似最优策略的计算

4. 结论与展望

本文提出了一种基于数据驱动的基于分布的 Hilbert 空间嵌入的随机最优控制方法，用于计算具有任意干扰的随机系统的近似最优策略。通过将系统状态的概率分布嵌入到再生核 Hilbert 空间中，我们能够在 RKHS 中直接学习和优化控制策略，从而有效规避了传统方法在处理复杂干扰和高维状态空间时面临的挑战。仿真实验验证了该方法在处理复杂随机干扰方面的鲁棒性和在策略性能上的优越性。

这项研究为解决实际工程中的复杂随机控制问题提供了一种有前景的新方法。未来的研究方向包括：

• 算法的计算效率提升：

   探索更高效的 RKHS 算法，如随机特征、稀疏核方法，以处理大规模数据集和高维状态空间。

• 在线学习与自适应控制：

   将该方法扩展到在线学习场景，使控制器能够实时适应系统参数和干扰分布的变化。

• 多目标和约束优化：

   将多目标优化和控制约束融入到 RKHS 框架中。

• 与其他数据驱动控制方法的结合：

   探索与强化学习、模型预测控制等方法的结合，以进一步提升控制性能和鲁棒性。

• 实际应用验证：

   将该方法应用于机器人控制、智能电网、金融建模等实际工程问题，验证其在真实世界中的有效性。

⛳️ 运行结果

🔗 参考文献

[1] 刘德荣,李宏亮,王鼎.基于数据的自学习优化控制:研究进展与展望[J].自动化学报, 2013, 39(11):13.DOI:CNKI:SUN:MOTO.0.2013-11-013.

[2] 张嗣瀛.一种确定快速最优及能控性问题伴随方程边界条件一方法--集合覆盖法[J].自动化学报, 1985(03):234-241.DOI:CNKI:SUN:MOTO.0.1985-03-001.

[3] 刘哲.基于混合整数最优控制的油田化学驱优化研究[D].北京邮电大学,2023.

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