利用离散傅立叶变换实现大数乘法运算 (例子:自守数计算)

【自守数】(在十进位制中,)   若一个   k   位正整数   N   (可含前置   "0"   ),   若满足如下性质:   任意两个或多个均以该字串   N   结尾的整数相乘,   其结果的最后   k   位数字一定还是   N,   那么,   则称   N   为   "k   位自守数".   
 

我们有结论:
如果x是k位自守数，那么
(x^2-1)^2   mod   10^(2k) 是2k位自守数。

关于整数的乘法，
假设N位L进制数
A= a0+a1*L+a2*L^2+...+a(N-1)*L^(N-1)
B=b0+b1*L+b2*L^2+...+b(N-1)*L^(N-1)
C=A*B=(a0*b0)+(a0*b1+a1*b0)*L+...+a(N-1)*a(N-1)*L^(2*N-2)
我们可以看到C的每个系数同卷积非常象

如果我们在A同B后面都添加N项0,
也就是A=a0+a1*L+...+a(2N-1)*L^(2N-1)
           B=b0+b1*L+...+b(2N-1)*L^(2N-1)
其中a(N),a(N+1),...,a(2N-1);b(N),b(N+1),...,b(2N-1)都是0
那么
C=(a0*b0+a1*b(2N-1)+...+a(2N-1)*b1)+
     (a0*b1+a1*b0+a2*b(2N-1)+...+a(2N-1)*b2)*L+
    ...+
    (a0*b(2N-1)+a1*b(2N-2)+...+a(2N-1)*b(0))*L^(2N-1)
其中各个系数正好是A和B的卷积，只是计算结果有可能每项超出[0,L)之间的范围要求，需要最后做调整。
而卷积可以通过离散傅立叶变换来计算，如果计算两个数的平方，那么还可以少一次傅立叶变换。

下面是计算自守数的代码，使用了Intel MKL中傅立叶变换函数:
#include   <stdio.h>  
  #include   <stdlib.h>  
  #include   <time.h>  
  #include   <mkl_fft.h>  
  #define   MOD   (10000)  
  double   *r;  
  double