一个同伦可扩展性的命题-优快云博客

文章讨论了拓扑空间偶(X,A)的同伦可扩展性条件，通过给出证明，表明存在从X×I到X×[0,1]∪A×I的收缩映射是必要的且充分的。文中通过例子说明了当开集性质不满足时，不存在收缩映射，从而确定了空间的同伦可扩展性缺失。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一个同伦可扩展性的命题

证明过程来自于A.Hatcher《Algebraic Topolopy》，Appendix 第533页。

命题：拓扑空间偶 $(X, A)$ 具有同伦可扩展性当且仅当存在从 $X×IX\times I$ 到 $\times [0,1]\cup A \times I$ 的收缩映射。
证明：必要性显然，下证充分性。令 $\times [0,1]\cup A \times I$ ，且赋予 $X×IX\times I$ 的子空间拓扑。假设存在收缩映射 $r:X×I→Yr:X\times I\rightarrow Y$ ，我们将要证明 $O⊂YO\subset Y$ 是开集，如果 $O$ 与 $X$ （看成 $Y$ 的子空间 $X×{0}X\times \{0\}$ ）和 $\times I$ 的交集都是各自空间的开集。这就意味着 $Y$ 上的函数是连续的，如果它在 $X$ 和 $A×IA\times I$ 上的限制都是连续的。把这个（任意的连续）函数用收缩映射做复合，就得到了所需要的定义在 $X×IX\times I$ 上的连续函数。
为证 $O⊂YO\subset Y$ 是 $Y$ 中开集，只需证对每一点 $x∈Ox\in O$ ，存在一个包含 $x$ 的开集 $V×W⊂X×IV\times W\subset X\times I$ 使得 $(V×W)∩Y⊂O(V\times W)\cap Y\subset O$ （因为给 $Y$ 赋予了 $X×IX\times I$ 的子空间拓扑）。若 $x∈A×(0,1]x\in A\times (0,1]$ 是显然的，所以不妨设 $x∈Xx\in X$ 。又若 $x$ 不在 $A$ 的闭包 $A‾\overline{A}$ 中时，结论也是显然的，所以设 $x∈A‾x\in \overline{A}$ 。对正整数 $n≥1n\geq 1$ ，令 $U_n$ 是 $X$ 中使得 $(Un∩A)×[0,1/n)⊂O(U_n\cap A)\times [0,1/n) \subset O$ 的最大开集， $U_n$ 的存在性是由于一族满足上述性质的开集的并集还满足此性质（即给定一个 $n$ ，对应地就有一个 $U_n$ ）。令 $U=∪nUnU=\cup_n U_n$ 。注意到 $A∩U⊂OA\cap U\subset O$ ，我们只需说明 $x∈Ux\in U$ ，因为此时存在 $n$ 使 $x∈Unx\in U_n$ ，那么我们可以选 $V×W=(Un∩O)×[0,1/n)V\times W=(U_n\cap O)\times [0,1/n)$ ，此时 $(V×W)∩Y=((Un∩O)×[0,1/n))∩Y⊂O(V\times W)\cap Y=((U_n\cap O)\times [0,1/n))\cap Y\subset O$ ，其中 $Un∩OU_n\cap O$ 是 $X$ 中开集（因为 $U_n$ 是 $X$ 中开集）, $[0, 1/ n)$ 是 $I$ 中开集。
为证 $x∈Ux\in U$ ，首先固定 $t > 0$ ，考虑点 $(x, t)$ 。写 $r(x,t)=(r1(x,t),r2(x,t))∈X×Ir(x,t)=(r_1(x,t),r_2(x,t))\in X\times I$ （别忘了 $r$ 是收缩映射），则由于 $x∈A‾x\in \overline{A}$ 且 $r (a, t) = (a, t)$ ， $∀a∈A\forall a\in A$ ，我们有 $r_2(x,t)=t$ 。因此 $r(x,t)∈X×{t}r(x,t)\in X\times \{t\}$ ，所以 $r1(x,t)∈Ar_1(x,t)\in A$ 。断言：若 $r1(x,t)∈Unr_1(x,t)\in U_n$ ，则 $x∈Unx\in U_n$ 。
事实上，若 $r1(x,t)∈Unr_1(x,t)\in U_n$ ，则由 $r_1$ 的连续性，存在 $X$ 中点 $x$ 的一个开邻域 $V$ 和 $ϵ>0\epsilon >0$ 使得 $r1(V×(t−ϵ,t+ϵ))⊂Unr_1(V\times (t-\epsilon,t+\epsilon))\subset U_n$ 。特别地， $r1((V∩A)×{t})⊂Unr_1((V\cap A) \times \{t\})\subset U_n$ ，换句话说 $V∩A⊂UnV\cap A \subset U_n$ 。依照 $U_n$ 的定义， $V⊂UnV\subset U_n$ ，从而 $x∈Unx\in U_n$ 。
现在反设 $x$ 不在 $U$ 中。由断言， $r1(x,t)∈A−Ur_1(x,t)\in A-U$ （否则 $r1(x,t)∈Ur_1(x,t)\in U$ 必属于某个 $U_n$ ，则 $x∈Un⊂Ux\in U_n\subset U$ 矛盾）。既然 $A∩O⊂UA\cap O\subset U$ ，更有 $r1(x,t)∈A−Or_1(x,t)\in A-O$ 。这个关系对任意 $t > 0$ 都成立，令 $t→0t\rightarrow 0$ ，由 $r_1$ 是到 $X$ 的连续映射以及 $X∩OX\cap O$ 是 $X$ 中开集得到 $r1(x,0)∈A‾−Or_1(x,0)\in \overline{A}-O$ 。而 $r_1(x,0)=x$ ，所以 $x$ 不在 $O$ 中，与 $x$ 的选取矛盾。从而 $x∈Ux\in U$ ，证毕。
例：令 $X=[0,1],A=(0,1],O=\{(x,t)|t<x或t=0\}$ 。此时 $O$ 与 $X$ 和 $A×IA\times I$ 的交都是各自子空间的开集，但 $O$ 自身不是开集。所以不存在从 $X×IX\times I$ 到 $X×{0}∪A×IX\times \{0\}\cup A\times I$ 的收缩映射，从而 $(X, A)$ 没有同伦可扩展性。事实上，这个收缩映射也是不可能存在的，因为它必须把紧集映到紧集，而 $X×{0}∪A×IX\times \{0\}\cup A\times I$ 不是紧的。