25、高效局部搜索解决部分拉丁方扩展问题

高效局部搜索解决部分拉丁方扩展问题

1. 相关定义与操作

在解决部分拉丁方扩展问题（PLSE）时，提出了更通用的交换操作。给定一个解 $S$，定义如下：
- 设 $R \subseteq S$ 是一个最大子集，其中所有节点都包含在一个二维平面中，该平面由对于某个 $d \in [3]$ 和 $k \in [n]$ 设置 $v_d = k$ 生成。
- 用 $F_1$（分别地，$F_2$）表示所有 1 - 紧（分别地，2 - 紧）节点的集合，使得唯一的解邻域包含在 $R$ 中（分别地，两个解邻域都包含在 $R$ 中）。
- 由 $R \cup F_1 \cup F_2$ 诱导的子图称为网格（相对于 $R$）。

所有在 $R \cup F_2$ 中的节点都在同一个二维平面上，而 $F_1$ 中的一些节点也在该平面上，但其他节点可能像悬挂的藤蔓一样在平面之外。从 $S$ 中移除 $R$ 会使网格中的所有节点变为自由节点。解 $S$ 的网格邻域定义为通过从 $S$ 中移除任何 $R$，然后将网格中的一个独立集插入到 $S \setminus R$ 中可以得到的所有解的集合。

2. 定理及证明

定理 5 表明，给定一个解 $S$，可以在 $O(n^{3.5})$ 时间内找到网格邻域中的改进解，或者得出不存在这样的解的结论。证明步骤如下：
1. 对于给定的 $R$，将 $F_1$ 划分为 $F_1 = F_1’ \cup F_1’‘$，使得 $F_1’$（分别地，$F_1’‘$）是位于（分别地，不在）所考虑的二维平面上的节点子集。
2. 节点集 $F_1’‘$ 诱导出一个由团组成的子图，每个团由垂直于二维平面的网格线上