24、部分拉丁方扩展问题的高效局部搜索

部分拉丁方扩展问题的高效局部搜索

1. 问题定义

首先，我们来明确两个重要问题：部分拉丁方扩展（PLSE）问题和最大独立集（MIS）问题。

• PLSE 问题 ：

  • 考虑一个 (n×n) 的单元格网格，用 ([n] = {1, 2, \ldots, n}) 表示。对于 (i, j \in [n])，单元格 ((i, j)) 表示第 (i) 行第 (j) 列的单元格。
  • 我们要将 (n) 个符号（即 ([n]) 中的 (n) 个整数）部分分配到网格中，用三元组集合 (T \subseteq [n]^3) 表示部分分配，若 ((v_1, v_2, v_3) \in T)，则表示符号 (v_3) 被分配到单元格 ((v_1, v_2))。
  • 为避免重复分配，对于 (T) 中任意两个不同的三元组 (v = (v_1, v_2, v_3)) 和 (w = (w_1, w_2, w_3))，有 ((v_1, v_2) \neq (w_1, w_2))，所以 (|T| \leq n^2)。
  • 对于任意两个三元组 (v, w \in [n]^3)，定义它们的汉明距离 (\delta(v, w) = |{k \in [3] | v_k \neq w_k}|)。若对于 (T) 中任意两个不同的三元组 (v, w)，(\delta(v, w) \geq 2)，则称 (T) 为 PLS 集。
  • 两个不相交的 PLS 集 (S) 和 (S’) 是兼容的，当且仅当对于任意 (v \in S) 和 (v’ \in S’)，(\del