带有广义 Robin 条件的扩散问题

本文介绍了一种在一维情况下求解带有广义 Robin 条件的热方程的方法，该方法结合了有限差分法和 Laplace 变换，并通过数值方法实现逆变换。问题定义在区间 [0, 1] 上，左端点绝缘，初始温度为零。右端点的 Robin 条件由一个常微分方程（ODE）驱动，而该 ODE 又由端点温度控制。这种耦合的 PDE/ODE 系统的求解展示了如何通过数值技术实现 Laplace 变换的逆变换，特别是利用 Maple 软件的功能。

问题背景

在 2010 年，作者曾解决过一个类似的扩散问题，并将其发布在 Maple Primes 上。该问题涉及一个非齐次的 Robin 边界条件，边界条件的非齐次项由一个初值问题（ODE）驱动，而该 ODE 又与扩散量耦合。当时的解决方案通过有限差分法离散化，并通过数值方法验证。

求解方法

1. 有限差分法：

   • 通过有限差分法离散化 PDE/ODE 系统。

   • 使用向前差分和中心差分来近似时间导数和空间导数。

   • 离散化后的方程需要处理边界条件，特别是 Robin 边界条件。

2. Laplace 变换：

   • 对热方程进行 Laplace 变换，将偏微分方程转化为常微分方程。

   • 通过变换后的方程求解，得到温度分布的 Laplace 变换形式。

   • 逆变换需要数值技术，特别是 Bromwich 积分的数值计算。

3. 数值逆变换：

   • 使用数值方法计算 Bromwich 积分，实现 Laplace 变换的逆变换。

   • Maple 软件提供了内置功能，用于数值逆 Laplace 变换，简化了计算过程。

实现步骤

1. 初始化：

   • 设置 x 方向和 t 方向的步长，选择合适的 Lambda 值以确保稳定性。

   • 初始化温度分布和 ODE 的初值。

2. 离散化：

   • 使用有限差分法离散化热方程，处理边界条件。

   • 对于 Robin 边界条件，需要通过 ODE 的解来确定边界值。

3. 求解 ODE：

   • 使用数值方法求解 ODE，得到边界条件的非齐次项。

   • 将 ODE 的解代入 PDE 的离散化方程中，更新温度分布。

4. Laplace 变换：

   • 对热方程进行 Laplace 变换，得到变换后的方程。

   • 求解变换后的方程，得到温度分布的 Laplace 变换形式。

5. 数值逆变换：

   • 使用数值方法计算 Bromwich 积分，实现 Laplace 变换的逆变换。

   • 利用 Maple 软件的内置功能，简化数值逆变换的计算过程。

结果展示

通过上述方法，作者成功求解了带有广义 Robin 条件的热方程，并展示了温度分布的演化过程。结果表明，数值方法和 Laplace 变换的结合能够有效地处理这种耦合的 PDE/ODE 系统。此外，Maple 软件的数值逆 Laplace 变换功能显著简化了计算过程，提高了求解效率。

视频演示

查看视频，完整介绍了如何通过有限差分法和 Laplace 变换求解带有广义 Robin 条件的热方程，并通过数值方法实现逆变换。

带有广义 Robin 条件的扩散问题