[Leetcode] 673. Number of Longest Increasing Subsequence 解题报告_leetcode number of longest increasing subsequence-优快云博客

本文介绍了一种使用动态规划解决寻找最长递增子序列(LIS)数量的方法。通过定义两个数组，分别记录以每个元素结尾的LIS长度及对应的数量，最终找到所有最大长度的LIS总数量。

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题目：

Given an unsorted array of integers, find the number of longest increasing subsequence.

Example 1:

Input: [1,3,5,4,7]
Output: 2
Explanation: The two longest increasing subsequence are [1, 3, 4, 7] and [1, 3, 5, 7].

Example 2:

Input: [2,2,2,2,2]
Output: 5
Explanation: The length of longest continuous increasing subsequence is 1, and there are 5 subsequences' length is 1, so output 5.

Note: Length of the given array will be not exceed 2000 and the answer is guaranteed to be fit in 32-bit signed int.

思路：

虽然这道题目的难度为中等，但我觉得其思路不是那么容易想到，这是因为在动态规划中，我们需要定义两个变量，推导两个递推式，并且两者之间是相互关联的：

1）cnt[i]：表示以nums[i]结尾的LIS的个数。

2）len[i]：表示以nums[i]结尾的LIS的长度。

对于每个nums[i]，我们检查处于它前面的每个nums[j]，如果nums[j] < nums[i]，那么说明把nums[i]放在nums[j]之后可以构成更长的LIS。此时有两种情况：如果len[j] + 1 > len[i]，说明把nums[i]加在nums[i]之后可以构成比nums[i]已有的LIS更长的LIS，所以我们就同时更新len[i]和cnt[i]。如果len[j] + 1 == len[i]，那么说明把nums[j]加在nums[i]之后，构成的LIS和nums[i]原来已有的LIS具有相同的长度，所以我们只需要更新cnt[i]即可。当j循环完了之后，我们就获得了以nums[i]结尾的LIS的长度及个数。

最后，我们获得所有长度为max_len的LIS的个数即可。算法的时间复杂度是O(n^2)，空间复杂度是O(n)。

代码：

class Solution {
public:
    int findNumberOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size(), max_len = 1, ans = 0;
        vector<int> cnt(n, 1);  // cnt[i] is the count of LIS that ends with nums[i]
        vector<int> len(n, 1);  // len[i] is the length of the LIS that ends with nums[i]
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                if (nums[i] > nums[j]) {            // nums[i] can be appended to nums[j]
                    if (len[j] + 1 > len[i]) {          // appending nums[i] will generate longer LIS
                        len[i] = len[j] + 1;
                        cnt[i] = cnt[j];
                    }
                    else if (len[j] + 1 == len[i]) {    // appending nums[i] will keep the length of LIS
                        cnt[i] += cnt[j];
                    }
                }
            }
            max_len = max(max_len, len[i]);
        }
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if (len[i] == max_len) {
                ans += cnt[i];
            }
        }
        return ans;
    }
};