本文深入探讨了魔术表演中障眼法的数学原理，通过有限状态转移机模型来解释魔术如何利用观察和推断的差异制造惊喜。作者指出，魔术的本质在于创造符合物理规律但违背常人逻辑的反差效果，这一过程可以通过状态机的转移函数和观测函数来描述。魔术动作的观测和重构、物理状态的转换在观众的认知中形成魔术的惊奇之处。文章还讨论了大脑对不完全观测现象的建模和概率理解在魔术中的作用，以及为何随着经验增加，观众对魔术的惊奇感会降低。
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在上一篇文章中，我们以扑克牌手法为例，讲解了障眼法的一类具体实例，相关内容请戳：
今天我们接着前面的内容，把障眼法的本质用数学语言来重新描述一番。
预警一下，这番大胆的想象和推演源自我两年多前那段疯狂思考的时间的产物，是我思维里十分自然但一般人看上去足够无聊和无语的内容。
如果还有兴趣，那就往下接着看吧！
魔术表演的状态机建模
前文说了，障眼法的核心是在有限观察的正常情况下，去制造符合一般物理规律却不合大脑逻辑推演的反差效果的魔术技巧。我们根据在扑克牌手法中的一些例子也有了一个关于如何“障眼”的感性认识，那作为有死理性派思维的我一定会继续想，世界上所有的魔术表演，包括所有让人意外的现象（比如），是否都有一个要么主动制造，或者意外产生的通用逻辑呢，能否用统一的公式框架表达出来？
这时候我想到了这几年工作中学习到的一项重磅建模工具：（加权）有限状态转移机。它本质是一个静态的贝叶斯网络的一个拓展，雏形我在10多年前疯狂搞数学建模竞赛的时候弄元胞自动机的时候就接触了，到后来学习点击模型，语言模型，语音识别；以及了解到app界面后台开发很多也是以状态机的形式来建模，我还为整个用户在搜索系统里的状态机做过一个细致的状态转移图，后来在代码里也见到和写过不少状态机的思路来把逻辑实现得更加清楚，回想起第一次看到其理论介绍时候的那个地铁入口闸机的图，当时真是感慨万分。世界上竟然有如此大一统的状态转移描述工具，而且为计算机计算几乎量身定做！
为了方便说明，定义术语如下：
Si: 第i阶段的对象状态，比如扑克牌被分成两叠，分别有m和n张，其中一叠正面向上，另一叠背面向上，他们分别是……这个状态是一个上帝视角的对我们所关心魔术对象的全局观察。不过所谓的全局状态也是相对可观测部分更细，也是要封装到一个级别的。举例来说，扑克牌魔术一般细到每张牌的花色点数就够了，没必要关心每张牌的分子结构，而如果有不同朝向，背面，签名的区别，可能会被最终呈现和用到，那也需要建模进来。这说的是全知状态的部分，是可以由物理规律去推演的足够的信息，但实际上，我们合理地能观察到的部分，和这个全局信息相比较而言，是十分缺乏的。而我们天然就适应这种局部观察，全局推断的模式，只要和以往的经验匹配，不觉得奇怪即可；
OSi: Si的观测状态，比如，扑克牌分成两叠，左边一叠稍多一些，且正面朝上，另一叠则相反。观察到的内容仅占Si的很小部分是很正常的，而且要让观众觉得很正常，符合常理；
S’i: 第i阶段的对象基于观测状态的状态推断。这时候，在一个表演中，如果不给你数每一叠具体多少张，分别是什么，并没有什么奇怪，因为这就是洗过的乱七八糟的扑克牌而已，不知道每叠有多少张，每一张是什么很正常。但是如果不洗就直接切成这两叠，那观众就有理由相信这里可能张数和排列有某些规律。原因不是手法好坏，而是不给我洗，我就觉得不自然，不值得相信，那么这时候信任感已经缺失，魔术效果已经打折扣了，这一点在前面讲障眼法的时候也提到了，就是要先是自然，再谈如何蒙蔽。
人类对S’i的构建是基于OSi以及以往经验的，且OSi越符合人的一般经验，观众会越对S’i的结果自信，这样形成的巨大反差会使得最终产生的魔术效果会有越强烈的潜能。
Ai: 作用在Si上的真实动作，比如把上述两叠牌洗在一起，从其中一叠中抽出一张来放入另一叠里等等，表示精确地按照特定顺序的洗牌操作和拿的第几张，点数是什么的全部信息。Ai和Si一样，是上帝视角的描述，包括这个动作里所有需要的细节信息，可观测的不可观测的全在里面，作用完成以后会产生新的上帝视角的下的状态Si + 1；
OAi: 观察到的作用在S’i上的动作。除了魔术对象的静态状态，魔术动作本身，无论是手法还是正常的动作，也是局部观测的，故我们大脑也允许部分行为是看不到的，比如洗牌时候具体左右每次先落的哪一张牌，抽出来的一张背面向上的牌具体是哪一张等等。我们默认也承认，洗牌是不知道具体洗乱方式的，抽出背面向上的牌现在不给我看也是合理的，这些都合乎常理。
A’i: 观察到的作用在S’i上的动作OAi后对原动作的推断，只能形成基于这个观测的反应来猜测。如果符合常理，是个常见的自然动作，那么同样观众会非常信任你。由此会产生S’i+1的推断，注意，这个推断是基于脑海里建模的客观规律的推断，基于以往的经验，比如刚才我看到牌背向上，那我推断的S’i可能是牌面有花色点数，看到的OAi推断A’i应该是翻面动作，那么根据以往经验，这里S’i + 1应该是正面向上的有花色点数的扑克牌。现代魔术不是巫术，用到的物理规律也很简单，所以出错的地方往往不是脑海运行的物理模型，而是对状态和行为观测本身的推断错误。
OS‘’i: 第i个阶段观众由其观测和推断上一阶段的状态和动作推断而来的观测结果。比如看到一张背面向上的牌翻过来了，那么推断接下来观测的效果应该是对应的那一张有花色点数的牌朝上了。
于是，整个魔术流程和观众观察的复合过程的状态机描述如下：
图1 魔术发生原理的状态机描述
魔术表演状态机模型的函数解析
如果熟悉FST的读者应该看出来了，这个图里有现实中一定按物理规律运行的一套FST（Si, Ai, OSi）和大脑根据这个FST的输出OSi和看作独立的外部操作的观察输出OAi（和Ai一起可以看作一个特殊的小FST）重新反向构建的一套镜像的FST'（S'i, A'i, OS'i） ，代表人脑根据观察和经验的构建和推演。图中椭圆部分正是二者的碰撞，如果有所不同，那就是魔术的发生之地。
还可以提一点，这里的FST因为有无限的观察力，可以看作是固定转移而不带权的，但是人脑构建的可以是WFST'，因为大脑是有能力判断我观察不足情况下，一件事情发生概率大小的，如果小概率地发生了，那同样可以当作奇迹来理解，其概率对应的信息量和关心程度的乘积可看作其神奇度的度量。比如巴格拉斯效果在了解概率的人眼里发生的可能性是1 / 52，不了解基本数学原理凭感觉的人可能觉得是1 / (52 * 52)，那为啥一般观众觉得不神奇呢？因为对这么一个完全没有美感的效果的兴趣度可能是0。
我们接着把这个状态机里的几个状态转移和观测函数列出来：
人对状态和行为的认知有观测（Observe，对应FST的输出）和重构（Reconstruct）两个步骤：
A’i = Reconstruct(OAi), OAi = Oberserve(Ai)
S’i = Reconstruct(OSi), OSi = Oberserve(Si)
注意这里的函数结果可能是个分布，得益于人类大脑早就掌握了对不完全观测现象的理解，并用概率分布这样的数学工具来建模，比如洗牌后的牌叠状态建模成任意排列，它检查过的色子扔下去的点数建模成某个面朝上，各面机会均等，等等。
手法主要是通过观测的限定来达到混淆的作用，有的手法甚至就是日常操作，达到目的完全凭巧妙设计的观测角度和推演陷阱，也就是障眼法了；而selfworking的原理类则是利用在重构阶段的认知偏差完成的，往往无死角可看，但经不起多次复现的推敲，仅剩未观测部分的谜题。所以这也是self-working类魔术表演上的难题，既然都self-working了，那就是人人可变，凭什么要看你变呢？不过倒是作为教学的大众基础娱乐内容不错，当然我也在致力于挖掘其内部的奥妙，提炼出里面以小见大的教育价值。
接着，物理状态的转移函数有俩，一个是客观的，一个是人脑推算的：
Si + 1 = DirtaObject(Ai, Si)
S’i + 1 = DirtaSubject(A’I, S’i)
其中，我们几乎可以假定DirtaObject = DirtaSubject。99%魔术的边界是利用已知的规律来制造惊喜，很少利用未知规律，那是古时候的巫术利用人民愚昧才有的。
当然，对于一个主观推断的状态到其观察的过程是没法直接观测的，所以还有一个人脑构建的模拟观测函数（O’bserve），表示在推断到的状态下，模拟出的观测结果：
OS’i = O’berserve(S’i)
比如，对一副洗乱扑克牌顺序状态推断其背面向上展开的观测结果就是全部是背面，什么都看不到。
在这套框架下，魔术产生的逻辑就十分清晰了。在魔术表演（乃至人类在不断学习客观规律来构建认知模型的过程中一样）中，会不断地在每一个阶段去检查自己想象的观测和真实看到的是否不一样，以产生惊讶的感觉，然后还会不断调整自己的认知模型。当你经验丰富了以后，什么都见过一些，那自然就没那么容易惊讶了，这也是为什么看魔术越多的观众口味越刁钻的原因。如果你给太小的孩子变魔术，也不会得到反馈，是因为，他啥都没见过，什么都很神奇，所以魔术并没有什么特殊的。
好了，我终于把计算机科学里最伟大的建模工具之一FST完整地应用在魔术中了，抽象成了一个广泛适用的数学模型。但是，应用到魔术这个实例的时候，必然还有一定的特异性，即在描述魔术的状态机里，一般还有哪些值得学习总结的特点呢？
放一个下期分享的魔术，我们下回见分晓。
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我们是谁：
MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！
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