S1: Variance Standard Deviation Covariance

最新推荐文章于 2025-02-25 13:35:23 发布

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本文介绍了方差、标准差和协方差的概念及其在统计学中的应用。方差是衡量数据波动程度的指标，标准差是方差的平方根。协方差用于评估两个变量之间的变化关系，正值表示同向变化，负值表示反向变化。文中还提到了无偏估计和协方差矩阵，并提供了Python计算协方差的例子。

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学习一下方差(variance)，标准差(StandardDeviation)，协方差(Covariance)，协方差矩阵(Covariance Matrix)

1、方差 Variance

方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，方差反应了总体样本的波动情况。
方差公式，一般简单的这样写：
$\sigma^{2} = \sum_{i=1}^{n}\frac{(x_i-\mu)^2}{n} \tag 1$
但是有时候，方差公式也会这样写：
$\sigma^{2} = \sum_{i=1}^{n}\frac{(x_i-\mu)^2}{n-1} \tag 2$
其实对于(1)式，规范的写法应该是：
$S^{2} = \sum_{i=1}^{n}\frac{(x_i-\bar{x})^2}{n} \tag 3$

这样就清晰了， $S^2$ 是样本的方差， $\bar{X}$ 是样本的平均值；而 $\sigma^2$ 是总体的方差， $\mu$ 是总体的平均值。

举一个例子说明：
如果我想知道大学里一个班级学生平均体重，那我可以统计这个班级所有学生的体重信息，求出来这个班级学生体重的平均值 $\bar{X}$ ，通过公式(3)，我就能求出来这个班级学生体重的方差 $S^2$ ，此时分母 $N$ 就是该班级学生人数。

但是现在我想知道全国大学生平均体重，我应该统计全国每一个大学生的体重，计算总体平均值 $\mu$ ，但是我不可能这么做。我会抽样统计，比如说我从一个学校抽出来80人，计算平均体重，也称样本平均值记作 $\bar{X_1}$ ，我再换一个学校抽出来80人，计算平均体重记作 $\bar{X_2}$ ，继续下去，我抽取了很多次，得到 $\bar{X_3}$ ， $\bar{X_4}$