题解系列014 | 洛谷题解 CF1060D 【Social Circles】

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原题传送门：Cutting Carrot

题目分析

这题的关键在于不要纠结于局部，而是注重整体。这也是许多看似复杂困难的问题的解法。我们通过追问的方式给出我的思考过程。

Q1：座位的排布是否有某种规律？
A1：可以分成一段段，段与段之间由客人隔开。
Q2：既然要求最小值，那段数能否先把它搞到最小？
A2：很遗憾不行。但幸运的是，段数是一个定值。具体而言，每一个圆桌上如果有 $m\in[1,N]$ 个人，那么也将有 $m$ 个段（圆排列的性质），因此总段数 $= N$ 。
Q3：那是否有哪些段“阻碍”了最小化？
A3：如果某个乘客的舒适空间特别大，那么这一段的最小长度就要大于等于它的舒适空间（非严格表述）。
Q4：那么怎么省空间呢？
A4：只能左右把空位“抵消”掉，从而分担掉一点舒适空间。

至此，我们已经可以给出一个数学化的表述：假设一个人的左舒适空间为 $l_i, 1\leq i\leq N$ , 右舒适空间为 $r_i, 1\leq i\leq N$ , $\sigma$ 为 $\{1, 2, \cdots, N\}$ 上的任一置换, 则问题的一种局部解为 $\sum\limits_{i=1}^{n}\max\{l_i, r_{\sigma(i)}\}+\underset{\underbrace{\text{加上一开始的 N 个人}}}{N}$ 。这里若 $\sigma^{g}(i)=i$ , 那么就成了一个圈（ $1\leq g\leq N$ ），简单来说，这种状态一定能构造出来。

容易看出，为了使上式达到最小值，应该让大的和大的配，小的和小的配（直观上也很显然，严格的数学证明只要写一个 $2\times N$ 阵列去分析就行）。于是如果将 $\left\{ l_i \right\} ,\left\{ r_i \right\}$ 排序为 $r_1\geq r_2\geq \cdots \geq r_N, l_1\geq l_2\geq \cdots \geq l_N$ , 则所求的 $N+\min\{\sum\limits_{i=1}^{n}\max\{l_i, r_{\sigma(i)}\}\} = N+\sum\limits_{i=1}^{n}\max\{l_i, r_i\}$ 。剩下的代码是容易的。

代码（python 3）

class Solution:
    def __init__(self) -> None:
        pass
    
    def solution(self, n, vector):
        left = [vector[i][0] for i in range(n)]
        right = [vector[i][1] for i in range(n)]
        
        left.sort()
        right.sort()
        
        result = n
        for i in range(n):
            result = result + max(left[i], right[i])
        
        return result

if __name__ == "__main__":


    n = int(input().strip())
    
    
    vector = []
    for i in range(n):
        vector.append([int(item) for item in input().strip().split()])
    
    
    sol = Solution()
    result = sol.solution(n, vector)

    print(result)