数学方法006 | 换元法解决不等式（下）——第三种换元：根据题目条件换元

在许多不等式中，题目都会有明显的换元提示（如$xyz=1,xyz=x+y+z,xy+yz+zx=1$），这时候就务必要灵敏地察觉这一条件并根据常见的套路换元。总结下来，可以利用的恒等式有：

（左边是恒等式，右边是可以联想到的条件）

$$\begin{gathered} 1.\frac{x}{y}\cdot \frac{y}{z}\cdot \frac{z}{x}=1=\frac{x}{z}\cdot \frac{y}{x}\cdot \frac{z}{y}\left(abc=1\right) \\ 2.x=a+b,y=b+c,z=c+a\left(x,y,z\text{是三角形三边}\right) \\ \left(\text{以下假设}A,B,C\text{是三角形的三个内角}\right) \\ 3.\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C\left(x+y+z=xyz\right) \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \text{证明：}\tan A+\tan B+\tan C=\tan \left(A+B\right)\left(1-\tan A\tan B\right)+\tan C \\ =\tan \left(\pi -C\right)\left(1-\tan A\tan B\right)+\tan C \\ =-\tan C\left(1-\tan A\tan B\right)+\tan C \\ =\tan A\tan B\tan C.■ \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 3.1\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A=1\left(xy+yz+zx=1\right) \\ 4.{\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B+{\cos }^{2}C+2\cos A\cos B\cos C=1\left(x^2+y^2+z^2+2xyz=1\right) \\ 5.\sum \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}=1\left(xy+yz+zx=1\right) \\ 6.{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\left(a^2+b^2=1\right) \\ 6.1m{\sin }^{2}x+m{\cos }^{2}x=m\left(a^2+b^2=m\right) \\ 7.\tan x\cot x=1\left(ab=1\right) \\ 8.{\sec }^{2}x-{\tan }^{2}x=1\left(a^2-b^2=1\right) \end{gathered}$$

经过观察，不难发现，其中三角换元占据了大半壁江山。**其实利用普通代数式进行换元的远比这要多，但不具有普遍性，需要具体问题具体分析。**反之，三角换元却常常被人们所遗忘，因此这里大都是三角换元。

$a,b,c>0,a+b+c=abc,\text{求证：}\sum \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\le \frac{3}{2}.$

解答普遍给出的是下面的解法，但这也恰恰揭示了代数法换元的局限性——即不能处理一些较为复杂的多项式条件，或是不齐次的条件。

$$\begin{gathered} \text{证明：令}a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z},\text{则}xy+yz+zx=1. \\ \therefore \sum \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\le \frac{3}{2}\iff \sum \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\le \frac{3}{2}\iff \sum \frac{x}{\sqrt{x^2+xy+yz+zx}}\le \frac{3}{2}\left(\text{齐次化}\right) \\ \iff \sum \frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le \frac{3}{2}. \\ \text{而}\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=\frac{x\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le \frac{1}{2\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\cdot x\left(2x+y+z\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\text{等} \\ \text{三式相加，原不等式成立}.■ \end{gathered}$$

而在熟悉了换元法后，几乎一步就能解决：（利用了第三种换元方法）

$$\begin{gathered} \text{证明：令}a=\tan A,b=\tan B,c=\tan C,\text{其中}A+B+C=\pi .\text{则}a+b+c=abc. \\ \therefore \sum \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}=\sum \frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^{2}A}}=\sum \cos A\le \frac{3}{2}.■ \end{gathered}$$
总而言之，换元法虽然管用，但一定要看清题目才能换元，如$xy+yz+zx=1$的两种换元方法等。更不能盲目换元，否则就会抱着“不撞南墙不回头”的信念进入死胡同。

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