复高斯分布complex Gaussian distribution——学习1

1、如何理解complex Gaussian distribution？

参考https://everything2.com/title/complex+Gaussian+distribution

https://blog.youkuaiyun.com/u013072056/article/details/45980271（需要VIP才行）

一般称 a complex-valued random variable z=x+iy a (circular symmetric) complex Gaussian variable, or it follows complex Gaussian distribution，需要满足以下3个条件：

• its real and imaginary parts, x and y, are jointly Gaussian (i.e. (x,y) follows a two-dimensional Gaussian distribution)
• 它的实部x和虚部y是 uncorrelated / independent 
• 它的实部x和虚部y有相同的方差σ2

假如实部x、虚部y的均值分别为mx、my，那么z的均值为

二维随机变量(x,y)的PDF为：

                                          

相当于从z的角度来讲。

暂时先记到这，以免忘记，后面再补充

2、matlab检验网上的结果

去网上搜素在matlab 如何生成服从复高斯分布的函数，给出的答案一般是：sqrt(var/2)*(randn(1,n) + 1i*randn(1,n));

零均值，var是方差，n样本数据个数。

去维基百科搜索复高斯分布，其中可以看到一条性质，对于符合复高斯分布的随机变量s，它的模值的平方服从指数分布

下面就来验证一下是否符合指数分布。

校验例子：

                var = 1;
                n = 1000;
                s = sqrt(var/2)*(randn(n,1) + 1i*randn(n,1));
                F = ( abs(s) ).^2;
                A = F; % 要求数据的维度是n×1
                alpha = 0.05;
                p_judge(A,alpha) % 调用分布判断函数p_judge

输出结果：

                 

分布判断函数：

function f = p_judge(A,alpha)
%本程序用于判别所给数据源A在置信率为0.05时的概率分布形式。A的形式为n×1。
%主要是使用kstest函数的用法
%是人大论坛中一个同志写出来的函数
[mu,sigma] = normfit(A);
p1 = normcdf(A,mu,sigma);
[H1,s1] = kstest(A,[A,p1],alpha);
n = length(A);
if H1==0
    disp('该数据源服从正态分布。')
else
    disp('该数据源不服从正态分布。')
end
phat = gamfit(A,alpha);
p2 = gamcdf(A,phat(1),phat(2));
[H2,s2] = kstest(A,[A,p2],alpha);
if H2==0
    disp('该数据源服从γ分布。')
else
    disp('该数据源不服从γ分布。')
end
lambda = poissfit(A,alpha);
p3 = poisscdf(A,lambda);
[H3,s3] = kstest(A,[A,p3],alpha);
if H3==0
    disp('该数据源服从泊松分布。')
else
    disp('该数据源不服从泊松分布。')
end
mu = expfit(A,alpha);
p4 = expcdf(A,mu);
[H4,s4] = kstest(A,[A,p4],alpha);
if H4==0
    disp('该数据源服从指数分布。')
else
    disp('该数据源不服从指数分布。')
end
[phat,pci] = raylfit(A, alpha);
p5 = raylcdf(A,phat);
[H5,s5] = kstest(A,[A,p5],alpha);
if H5==0
    disp('该数据源服从rayleigh分布。')
else
    disp('该数据源不服从rayleigh分布。')
end

记个笔记：

H = kstest(X) %测试向量X是否服从标准正态分布，测试水平为5%。
H = kstest(X,cdf) %指定累积分布函数为cdf的测试(cdf=[ ]时表示标准正态分布)，测试水平为5%
H = kstest(X,cdf,alpha) % alpha为指定测试水平H=kstest(X,cdf,alpha,tail) % tail=0为双侧检验， tail=1单侧(<)检验， tail=-1单侧(>) 检验
[H,P,KSSTAT,CV] = kstest(X,cdf,alpha) %P为原假设成立的概率，KSSTAT为测试统计量的值，CV为是否接受假设的临界值。
注意：kstest适用于小样本，当数据过大时，检验拒绝的临界值非常小，结果往往是拒绝原假设。
各种检验方法适用范围如下：
chi2gof适合大样本，一般要求50个以上
kstest适于小样本，
lillietest用于正态分布，与kstest类似，适用于小样本
jbtest,是通过峰度、偏度检测正态分布的，适用用大样本。
参考：https://blog.youkuaiyun.com/WUDIPIPIXIA/article/details/101939085

3、论文中的表述

（1）复高斯随机变量的模值的平方服从指数分布

（2）多个指数分布的和服从伽马分布

 

先记到这里，感觉用博客记笔记挺方便哒。