9、微分方程数值求解：特征值、边界条件与求解器

微分方程数值求解：特征值、边界条件与求解器

在微分方程的数值求解中，特征值的计算、边界条件的处理以及不同类型求解器的应用是关键环节。下面将详细介绍相关内容。

1. -D²的特征值与傅里叶级数

在构建二阶差分矩阵D²时，不同的边界条件会产生不同的特征向量和特征值。
- 零狄利克雷边界条件（0 - Dirichlet BC） ：以五点格式构建0 - Dirichlet BC的二阶差分矩阵为例，使用中心格式时，得到的特征值不仅具有O((dx)⁴)的精度，而且特征向量与在内部网格点上计算的相应特征函数一致。例如，对于第二个方程，使用y₀ = 0可得特定行；对于第一个方程，使用y₀ = 0和“幽灵”值y₋₁ = -y₁得到相应行。虽然可以使用斜五点格式得到O((dx)⁴)精度的特征值，但这些特征向量与网格上的特征函数并不完全一致。
- 零诺伊曼边界条件（0 - Neumann BC） ：练习要求验证使用三点中心格式构建D²时，对于0 - Neumann BC，特征向量与余弦（和常数）函数一致。并且，对于0 - N BC，在单元网格上特征值近似为O((dx)²)，在点网格上为O(dx)。具体来说：
1. 证明在网格上对余弦（或常数）函数计算第i个方程得到的特征值近似与正弦函数相同，即(\bar{\lambda} = 2n^2(1 - \cos(k\pi/n)))。
2. 对于单元网格，证明第一个方程（将 - 2n²替换为 - n²）得到相同的近似(\bar{\lambda})，最后一个方程也有相同结果。
3. 应用余弦函数的泰勒级数(\cos(\alpha) = \cos(k\pi/n))，得出