100、状态变量技术：原理、方法与应用

状态变量技术：原理、方法与应用

1. 状态的概念

在电路分析中，电阻性（或无记忆）电路的当前输出仅取决于当前输入。然而，对于动态电路的分析，除了当前输入外，还需要知道电路在某一时刻 $t_0$ 的状态。

1.1 状态的定义

电路在时间 $t_0$ 的状态是指在 $t_0$ 时刻的最少信息，这些信息与 $t \geq t_0$ 时的电路输入一起，能够唯一确定 $t \geq t_0$ 时电路的行为。

电路的复杂度阶数与状态的概念密切相关。复杂度阶数是指与输入一起足以确定电路未来行为的最少初始条件数量。对于一个由 $n$ 阶线性微分方程描述的电路，$t \geq t_0$ 的通解包含 $n$ 个任意常数，这些常数由 $n$ 个初始条件确定。这组 $n$ 个初始条件包含了 $t = t_0$ 之前的电路信息，构成了电路在 $t = t_0$ 时的状态。因此，电路的复杂度阶数与描述该电路的微分方程的阶数相同，也与电路中可定义的状态变量数量相同。

对于 $n$ 阶电路，电路在 $t = t_0$ 时的状态由一组 $n$ 个数组成，这些数表示由 $n$ 个相应状态变量张成的 $n$ 维状态空间中的一个向量。这个关键数字 $n$ 可以通过检查电路来简单获得。知道储能元件总数 $n_{LC}$、独立电容回路总数 $n_C$ 和独立电感割集总数 $n_L$，电路的复杂度阶数 $n$ 由下式给出：
[n = n_{LC} - n_L - n_C]
电容回路是指仅由电容器和可能的电压源组成的回路，而电感割集是指仅包含电感器和可能的电流源的割集。

1.2 状态概念的示例

示例 1：简单 RC 电