72、电路分析中的网络定律与定理

电路分析中的网络定律与定理

1. 节点分析相关方程推导

在电路分析中，通过节点分析可得到一些重要的方程。首先有方程：
[v(t) = \frac{6v_s(t)+(p^2 + p + 4)i_s(t)}{p^2 + 7p + 10}]
通过交叉相乘，可将其转化为微分方程：
[(p^2 + 7p + 10)v(t) = 6v_s(t)+6(p^2 + p + 4)i_s(t)]
用常规符号表示，利用 (p) 算子的分配性质，可得：
[\frac{d^2v(t)}{dt^2} + 7\frac{dv(t)}{dt} + 10v(t) = 6v_s(t)+6\frac{d^2i_s(t)}{dt^2} + 6\frac{di_s(t)}{dt} + 24i_s(t)]
另一方面，可将原方程直接解释为解算子方程。对分母进行因式分解并做部分分式展开：
[v(t) = \frac{6}{p + 2}v_s(t) + \frac{6(p^2 + p + 4)}{(p + 2)(p + 5)}i_s(t)]
一阶算子具有如下简单形式：
[\frac{1}{p + a}x(t) = e^{-at}\int e^{at}x(t)dt]
利用此结果，可快速得出一阶算子的冲激响应和阶跃响应分别为：
[h(t) = \frac{1}{p + a}\delta(t) = e^{-at}u(t)]
[s(t) = \frac{1}{p + a}u(t) = [1 - e^{-at}]u(t)]
若 (i_s(t) = \delta(t)) 且 (v_s(t) = u(t))，则有：
[v(t) = 6\delt