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【代码】【P5数学知识】04：扩展欧几里得算法。

的时间复杂度内求出结果，其中满足。快速幂的核心：反复平方法。

如果需要求出1~N中，每一个数字的欧拉函数，这时再使用公式法（将每个数都分解质因数）将导致时间复杂度为。

【代码】【P2数据结构】03：队列。

【代码】【P2数据结构】02：栈。

用数组模拟单链表，使用单链表构建一个邻接表（n个链表），用邻接表（最短路问题、最小生成树、最大流）进行存储图和树，数组实现的链表可以做指针实现的链表的所有事情，且数组实现的链表更快（静态链表），动态链表new操作太慢。用数组模拟双链表，双链表可用于优化某些问题，

离散化问题的性质，整个值域的跨度很大，但是数据非常的稀疏。

tips：文章内容参考acwing算法刷题课程，题解图示内容及代码根据老师课程、以及自己对知识的理解，进行二次整理和部分补充，仅供学习参考使用，不可商业化。

参考：https://www.acwing.com/solution/content/23474/所以引出一个新的check方法：对于寻找是否有重复数字，一般用hash，没人用暴力。由于check函数写的不好循环太多，直接是暴力计算找重复数字的，显然不好。

的时间来实现对原数组，中间的某一段区间数值全部加上一个固定的值C，只需要在差分数组中修改两数即可。

【代码】【基础算法】04：高进度运算。

定义某种性质，使得右半边的部分全部满足该种性质，而左半边的部分全部都不满足该种性质。而二分可以寻找性质的边界。二分的本质并不是单调性，而是一种边界。

当你发现 4 比 3 大的时候，也就是说右边最大的元素都小于左边最小的元素，那么左边剩下的5和6都必然比右边的所有元素大，因此就可以不用数5和6的情形了，直接分别加上右半边的元素个数就可以了，这一步就降低到了O(n), 我们知道递归式 T(n) = 2T(n/2)+O(n) = O(nlogn)的，所以排序的成本是可以接受的，并且这一问题下，可以很自然地使用归并排序。这个时候我们注意到一个很重要的性质，左右半边的元素在各自任意调换顺序，是不影响第三步计数的。注：关于2路归并的归并树（倒立的二叉树）

注：经典快速排序总是指定数组的最后一个元素作为基准值，随机快速排序指定数组或者某一部分中的随机值作为基准值。