定点数的乘法与除法-c 程序实现

一、 实验目的

1.掌握定点数的乘法和除法的运算原理。

2.通过编写 C 程序，掌握定点数的表示方法，实现定点数的乘法与除法。

二、实验内容

（1）由于计算机的软硬件在逻辑上具有一定的等价性，因此实现乘除法运算，可以有

三种方式：

1）用软件实现。

2）用硬件乘法器和除法器实现。

3）用高速的阵列乘法器和阵列除法器来实现。

（2）定点数的乘法运算主要采用原码和补码实现

1）原码乘法及实现：

①手工乘法算法

②原码一位乘法

假设[X] 原 =X S X 1 X 2 ……X n ， [Y] 原 =Y S Y 1 Y 2 ……Y n ， P=X·Y，P S 是积的符号：

符号位单独处理 Ps=Xs ⊕ Ys

绝对值进行数值运算 |P|=|X|*|Y|

初始部分积为 0，Yi=1 时，部分积加|X|； Y i =0 时，部分积加 0；累

加结果右移 1 位，得新部分积

累加右移 n 次，即 i=n，n-1，……，2，1

2）补码乘法及实现

①校正法

②Booth 算法

被乘数 X 和乘数 Y 均以补码的形式参加乘法运算，运算的结果是积的补码

部分积和被乘数 X 采用双符号位，乘数 Y 采用单符号位

[Y]补后添加附加位 Y n+1 初值为 0（Y n Y n+1 判断操作）

右移时遵循补码的移位规则

累加右移 n 次，最后累加不右移

（3）定点数的除法运算主要采用原码和补码实现

①手工除法算法

②原码恢复余数算法

假设[X]原=X S .X 1 X 2 ……X n ，[Y]原=Y S .Y 1 Y 2 ……Y n ，Q 是 X÷Y 的商，Q S 是商的符

号，R 是 X÷Y 的余数，R S 是余数的符号。 原码除法运算的规则是：

i. Q S = X S ⊕Y S ，R S = X S ，|Q| = |X|÷|Y|-|R|÷|Y|

ii. 余数和被除数、除数均采用双符号位；初始余数为|X|。

iii.每次用余数减去|Y|（通过加上[-|Y|]补来实现），若结果的符号位为 0，则够

减，上商 1，余数左移一位；若结果的符号位为 1，则不够减，上商 0，先加|Y|

恢复余数，然后余数左移一位。

iv. 循环操作步骤 3，共做 n+1 次，最后一次不左移，但若最后一次上商 0，则必须

+|Y|恢复余数；若为定点小数除法，余数则为最后计算得到的余数右移 n 位的

值。

③原码不恢复余数算法

又称为加减交替法：当某一次求得的差值（余数 R i ）为负时，不是恢复它，而是继续

求下一位商，但用加上除数（+|Y|）的办法来取代（-|Y|）操作，其他操作不变。

加减交替法的规则如下：

i.

余数为正时，商上 1，求下一位商的办法，是余数左移一位，再减去除数；

ii. 当余数为负时，商上 0，求下一位商的办法，是余数左移一位，再加上除数；

iii. 若最后一次上商为 0，而又需得到正确余数，则在这最后一次仍需恢复余数。

（4）任务描述

输入两个数 X 和 Y，用原码一位乘法计算 X*Y，用原码恢复余数算法计算 X/Y。

X、Y 分别是带 1 位符号位、4 位数值位的二进制数，符号位 1 为正数，0 为负数。

例如：

键盘输入：X= +1011，Y= -1101

输出：

X*Y= 1，10001111

X/Y: Q=1.1101 R=0.00000111

#include"stdio.h"//代码调试过程与先多后优化 原码补码优化 
void  show(int str[10],int top) {//打印输出 
	int i = 1;
	for (i = 1; i < 10; i++) {
		printf("%d", str[i]);
		if (i == 1 && top==0) printf(", ");
		if (i == 1 && top == 1) printf(".");
	} 
	printf("\n");
}
void show1(int a[6]) {
	int i = 1;
	for (i = 1; i < 6; i++)
	{
		printf("%d", a[i]);
		if (i == 1) printf(".");
	}
	printf(" ");
}
void add(int a[6], int C[6]) { //加法
	int Cn = 0;//更新
	int k = 5;
	for (k = 5; k >= 0; k--) {
		int t = a[k] + C[k] + Cn;//加法代码优化
		if (t == 0) { C[k] = 0;  Cn = 0; }    //周到值的更新
		if (t == 1) { C[k] = 1;  Cn = 0; }     //3个0想加等4种情况，考虑全面细致，有序理解。
		if (t == 2) { C[k] = 0;  Cn = 1; }
		if (t == 3) { C[k] = 1;  Cn = 1; }
	}
}
void fun1(int a[6], int b[6], int str[10]) {// 
	int  C[6] = { 0 };//更新
	int j = 0, i = 0, m = 5;
	for (m = 5; m > 1; m--) {
		if (b[m] == 1)  add(a, C);//为1加x
		str[9 - j] = C[5];//获取末尾的值 一次得值
		j++;
		for (i = 1; i < 6; i++)//逻辑右移
			C[6 - i] = C[5 - i];//从后开始值的替换注意先后顺序
		C[0] = 0;//最高位补0角标注意
	}
	for (j = 0; j < 6; j++)//前6位数字赋制
		str[j] = C[j];
}
void fun2(int a[6], int b[6], int af[6], int str[10]) {  //看后面俩位进行加法 优化加法  5次加法 4次移位 yn+1-yn 3 -x 补 逻辑关系后面补0
	int  C[6] = { 0 };//更新
	int k = 0, j = 0, i = 0, m = 1;
	//判断b[5-i]-b[4-i] i=0;
	for (i = 0; i < 5; i++) {
		int t = b[5 - i] - b[4 - i];
		if (t == 1)  add(a, C);//+x补
		if (t == -1) add(af, C);//+ -x补//str ,取值移位，移位
		if (j < 4) {
			str[9 - j] = C[5];//获取末尾的值 一次得值
			j++;
			for (m = 1; m < 6; m++)//逻辑右移
				C[6 - m] = C[5 - m];//从后开始值的替换注意先后顺序
			C[0] = C[1];//最高位扩展符号位
		}
	}
	for (j = 0; j < 6; j++)//前6位数字赋制
		str[j] = C[j];
}
void fun3(int a[6], int b[6], int bf[6], int str[6], int strr[10]) {   //原码不恢复除法 看后面俩位进行加法 优化加法  5次加法 4次移位 yn+1-yn 3 -x 补 逻辑关系后面补0 更新a
	int j = 0, i = 0, m = 0;
	for (i = 0; i < 5; i++) {
		if (a[0] == 1)  add(b, a);//y补
		else add(bf, a);  //+ -y补//str ,取值移位，移  逻辑错误
		if (a[0] == 1) str[i + 1] = 0;
		else str[i + 1] = 1;//获取末尾的值 一次得值
		if(i<4){ for (m = 0; m < 5; m++)//左移
			a[m] = a[m + 1];  
		    a[5] = 0; 	} //角标问题 从后开始值的替换注意先后顺序
	}
    if (a[0] == 1||a[1]==1)  add(b, a);//余数为负数时的处理
	for (j = 2; j < 6; j++)
		strr[11 - j] = a[7-j]; //角标问题
}
void fun4(int a[6], int b[6], int bf[6], int str[6], int strr[10]) {   //原码恢复除法 看后面俩位进行加法 优化加法  多次加法 4次移位 yn+1-yn 3 -x 补 逻辑关系后面补0 更新a
	int j = 0, i = 0, m = 0;                                             
	for (i = 0; i < 5; i++) {
		add(bf, a);
		if (a[0] == 1) str[i + 1] = 0;
		else str[i + 1] = 1;//获取末尾的值 一次得值 //+ -y补//str ,取值移位，移  逻辑错误
		if (a[0] == 1)  add(b, a);//y补
		if(i<4){for (m = 0; m < 5; m++)//左移
			a[m] = a[m + 1];  
		    a[5] = 0; 	} //角标问题 从后开始值的替换注意先后顺序
	}
	for (j = 2; j < 6; j++)
		strr[11 - j] = a[7-j]; //角标问题
}
void chengfa1(char str1[6], char str2[6]) {//定点数原码一位乘法
	int a[6] = { 0 }, b[6] = { 0 }, str[10] = { 0 }, k,top=0;
	for (k = 2; k < 6; k++) {
		a[k] = str1[k - 1] - 48;   //字符1对应ASCLL为49 与int型之间的转换
		b[k] = str2[k - 1] - 48;
	}
	fun1(a, b, str);
	if (str1[0] == str2[0]) str[1] = 0;//符号位特殊处理 
	else str[1] = 1;
	printf("定点数原码乘法X*Y=");
	show(str,top);
}
void chengfa2(char str1[6], char str2[6]) {//定点数补码一位乘法 多执行一次加法无需考虑符号位
	int a[6] = { 0 }, b[6] = { 0 }, str[10] = { 0 }, k,top=0;
	int af[6] = { 0 };//连同符号位取反加一；
	for (k = 2; k < 6; k++) {
		a[k] = str1[k - 1] - 48;   //字符1对应ASCLL为49 与int型之间的转换
		b[k - 1] = str2[k - 1] - 48;
	}//+ 00  -11 先搞定原码
	if (str1[0] == '+') {
		a[0] = 0; a[1] = 0;
	} //a的前面几位  //对应的-x 补码
	else {
		a[0] = 1; a[1] = 1;
	}
	if (str2[0] == '+')  b[0] = 0; //乘数
	else 	b[0] = 1;//补码 反码基础上加1 后4位
	if (a[0] == 1) {
		for (k = 5; k > 1; k--) { //取反
			if (a[k] == 1)  a[k] = 0;
			else a[k] = 1;
		}
		for (k = 5; k > 1; k--) {//加1
			if (a[k] == 1)  a[k] = 0;
			else {
				a[k] = 1; break;
			}
		}
	}//af操作
	for (k = 5; k >= 0; k--) {
		if (a[k] == 1)  af[k] = 0;
		else af[k] = 1;
	}
	for (k = 5; k >= 0; k--) {//加1
		if (af[k] == 1)  af[k] = 0;
		else {
			af[k] = 1; break;
		}
	}
	if (b[0] == 1) { //乘数
		for (k = 4; k > 0; k--) { //取反  //优化
			if (b[k] == 1)  b[k] = 0;
			else b[k] = 1;
		}
		for (k = 4; k > 0; k--) {//加1
			if (b[k] == 1)  b[k] = 0;
			else {
				b[k] = 1; break;
			}
		}
	}//乘数规定
	fun2(a, b, af, str);
	printf("定点数补码乘法X*Y=");
	show(str,top);
}
void chufa1(char str1[6], char str2[6]) {  //原码恢复除法   求y与-y的补 x默认正 最后判断符号位 左移 判断相加位 Q商 余数R
	int a[6] = { 0 }, b[6] = { 0 }, str[6] = { 0 }, strr[10] = { 0 }, k,top=1; //x正数的补码+ 00  -11 先搞定原码 y正数的补码 以及负数y的补
	int bf[6] = { 1,1,0,0,0,0 };//连同符号位取反加一；
	for (k = 2; k < 6; k++) {
		a[k] = str1[k - 1] - 48;   //字符1对应ASCLL为49 与int型之间的转换
		b[k] = str2[k - 1] - 48;
		if (b[k] == 1)  bf[k] = 0;
		else bf[k] = 1;
	}//x正数补，y正数补  取反  -y的补
	for (k = 5; k > 1; k--) {//加1
		if (bf[k] == 1)  bf[k] = 0;
		else {
			bf[k] = 1; break;
		}
	}
	fun4(a, b, bf, str, strr);
	if (str1[0] == str2[0]) str[1] = 0;//符号位特殊处理
	else str[1] = 1;
	printf("原码恢复除法X/Y: Q=");
	show1(str);    //商
	printf("R="); 
	show(strr,top);         //余数最后的a[6]*10^(-4) 中间4个0；
}
void chufa2(char str1[6], char str2[6]) {  //原码不恢复除法   求y与-y的补 x默认正 最后判断符号位 左移 判断相加位 Q商 余数R
	int a[6] = { 0 }, b[6] = { 0 }, str[6] = { 0 }, strr[10] = { 0 }, k,top=1; //x正数的补码+ 00  -11 先搞定原码 y正数的补码 以及负数y的补
	int bf[6] = { 1,1,0,0,0,0 };//连同符号位取反加一；
	for (k = 2; k < 6; k++) {
		a[k] = str1[k - 1] - 48;   //字符1对应ASCLL为49 与int型之间的转换
		b[k] = str2[k - 1] - 48;
		if (b[k] == 1)  bf[k] = 0;
		else bf[k] = 1;
	}//x正数补，y正数补  取反  -y的补
	for (k = 5; k > 1; k--) {//加1
		if (bf[k] == 1)  bf[k] = 0;
		else {
			bf[k] = 1; break;
		}
	}
	fun3(a, b, bf, str, strr);
	if (str1[0] == str2[0]) str[1] = 0;//符号位特殊处理
	else str[1] = 1;
	printf("原码不恢复除法X/Y: Q=");
	show1(str);    //商
	printf("R="); 
	show(strr,top);         //余数最后的a[6]*10^(-4) 中间4个0；
}
int main() {
	char str1[6], str2[6];
	printf("请输入X和Y的值(1位符号位+4位数值位的二进制数)；\n");
	printf("X=");
	scanf("%s", str1);
	printf("Y=");
	scanf("%s", str2);
	chengfa1(str1, str2);
	chengfa2(str1, str2);
	chufa1(str1,str2);
	chufa2(str1,str2);
	return 0;
}

 

实验结果分析：

通过使用打印输出定点数的乘法与除法程序实现的实验结果，发现：

定点数原码乘法与定点数补码乘法符号位相同，乘数的符号位相同时其结果相同；原码恢复除法与原码不恢复除法商（Q）是相同的。

心得体会：对定点数的乘法与除法程序实现的分析，是一个要实现相对应的4个功能的函数，考虑到功能之间的相互联系，先设计出相对应的框架，注意到功能之间相同的运算部分只需额外定义同一个函数，实现相应的需求时调用即可；定点数的乘法与除法C程序拆分成相应的加法与移位过程即可实现，加深了对定点数的乘法与除法的理解。

改进意见：

可以增加一些扩展的实验内容，包括浮点数的相关运算加减乘除、舍入误差分析和溢出相关问题的分析。